Sejam v_{1}=(0,1,2,3), v_{2}=(1,0,1,2), v_{3}=(2,-3,-4,-5).
(a) O vetor w=(1,1,1,1) é combinação linear de v_{1}, v_{2} e v_{3} ? Caso a resposta seja sim, de quantas maneiras?
(b) O conjunto \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} é linearmente dependente ou independente?
(c) Qual a dimensão do subespaço de \mathbb{R}^{4} gerado por \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} ?

Passo 1

O enunciado dá os vetores
v_{1}=(0,1,2,3),\qquad v_{2}=(1,0,1,2),\qquad v_{3}=(2,-3,-4,-5)
e pede três coisas:
  1. (a) Verificar se w=(1,1,1,1) é combinação linear de v_{1},v_{2},v_{3} e — se for — quantas maneiras existem.
  2. (b) Dizer se o conjunto \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é linearmente dependente ou independente.
  3. (c) Determinar a dimensão do subespaço de \mathbb{R}^{4} gerado por \{v_{1},v_{2},v_{3}\}.
As informações relevantes estão todas acima: os três vetores e o vetor w. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

O que significa que w seja combinação linear de v_{1},v_{2},v_{3}?
Significa que existem escalares a,b,c\in\mathbb{R} tais que
a v_{1}+b v_{2}+c v_{3}=w.
Aqui a,b,c são incógnitas. Vou escrever essa igualdade componente a componente para obter um sistema linear de quatro equações com três incógnitas. Isso nos permitirá ver se existe solução (e se for única ou infinita).

Passo 3

Escrevendo a combinação componente a componente temos
a(0)+b(1)+c(2)=1,
a(1)+b(0)+c(-3)=1,
a(2)+b(1)+c(-4)=1,
a(3)+b(2)+c(-5)=1.
Em forma mais compacta:
\begin{cases} b+2c=1,\\[4pt] a-3c=1,\\[4pt] 2a+b-4c=1,\\[4pt] 3a+2b-5c=1. \end{cases}]

Passo 4

Vou resolver o sistema acima por substituição, passo a passo.
Da primeira equação temos
b=1-2c.
Da segunda equação temos
a=1+3c.
Agora substituo a e b na terceira equação:
2a+b-4c=1.
Substituindo a=1+3c e b=1-2c obtemos
2(1+3c)+(1-2c)-4c=1.
Calculo os termos:
2+6c+1-2c-4c=1.
Agrupando os termos em c:
(2+1)+(6c-2c-4c)=1 \quad\Rightarrow\quad 3+0\cdot c=1.
Isso dá
3=1,
que é uma contradição. Portanto o sistema não tem solução.

Passo 5

Interpretação da contradição: não existe a,b,c que satisfaçam todas as quatro equações simultaneamente, então não existe combinação linear a v_{1}+b v_{2}+c v_{3}=w. Em linguagem direta: w não pertence ao subespaço gerado por v_{1},v_{2},v_{3}. Conclusão para (a): a resposta é “não” e o número de maneiras é zero.
Uma observação didática rápida: o fato de aparecermos com uma contradição depois de usar apenas as três primeiras equações já bastou; a quarta teria que ser compatível, mas como já houve inconsistência global, não há solução. Isso costuma acontecer quando as três colunas (ou vetores) não geram o vetor w.

Passo 6

Agora a pergunta (b): \{v_{1},v_{2},v_{3}\}\) é linearmente dependente ou independente? Definição prática: o conjunto é linearmente dependente se existem escalares não todos nulos \(x,y,z\) tais que \[x v_{1}+y v_{2}+z v_{3}=0.
Se a única solução desse sistema homogêneo for x=y=z=0, então o conjunto é independente.
Vou tentar encontrar uma relação linear não trivial. Uma maneira direta é ver se um dos vetores pode ser escrito em função dos outros dois. Procuro \alpha,\beta tais que
\alpha v_{1}+\beta v_{2}=v_{3}.
Escrevendo componente a componente:
\begin{cases} \beta =2,\\[4pt] \alpha =-3,\\[4pt] 2\alpha+\beta=-4,\\[4pt] 3\alpha+2\beta=-5. \end{cases}
As duas primeiras equações vieram da primeira e da segunda componente (explicitamente: da primeira componente 0\alpha+1\beta=2\] dá \(\beta=2; da segunda componente 1\alpha+0\beta=-3 \alpha=-3). Verifico as demais para consistência:
2\alpha+\beta=2(-3)+2=-6+2=-4,
3\alpha+2\beta=3(-3)+2\cdot2=-9+4=-5,
ambas batem com v_{3}. Logo
v_{3}=-3\,v_{1}+2\,v_{2}.
Isso é uma relação linear não trivial entre v_{1},v_{2},v_{3} (escolhendo, por exemplo, (x,y,z)=(3,-2,1) temos 3v_{1}-2v_{2}+1v_{3}=0). Portanto o conjunto é linearmente dependente.]

Passo 7

Agora a pergunta (c): qual a dimensão do subespaço gerado por \{v_{1},v_{2},v_{3}\}?
Explicação do conceito: a dimensão do subespaço gerado por um conjunto de vetores é o número máximo de vetores linearmente independentes nesse conjunto (ou seja, a cardinalidade de uma base do subespaço), que é o posto (rank) das colunas formadas por esses vetores.
Como acabamos de mostrar que v_{3} é combinação linear de v_{1} e v_{2}, o conjunto \{v_{1},v_{2},v_{3}\} não tem mais do que 2 vetores independentemente. Resta verificar se v_{1} e v_{2} são entre si independentes. Para isso, pergunto: existem \lambda,\mu (não ambos zero) tais que \lambda v_{1}+\mu v_{2}=0? Escrevendo a primeira e segunda componentes:
\mu=0,\qquad \lambda=0.
Portanto a única solução é \lambda=\mu=0, ou seja, v_{1} e v_{2} são linearmente independentes. Assim há exatamente dois vetores independentes no conjunto, então a dimensão do subespaço gerado é 2.

Resposta

(a) Não; w não é combinação linear de v_{1},v_{2},v_{3} (zero maneiras).
(b) O conjunto \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é linearmente dependente.
(c) A dimensão do subespaço gerado por \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é 2.

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