Sejam V e W espaços vetoriais definidos sobre um mesmo corpo, ambos com dimensão finita. Seja B=\left\{\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{n}\right\} uma base de V de modo que \operatorname{dim}(V)=n. Seja L: V \rightarrow W uma transformação linear sobrejetora. Prove que C=\left\{L\left(\mathbf{v}_{1}\right), \ldots, L\left(\mathbf{v}_{n}\right)\right\} gera W e que \operatorname{dim}(W) \leq \operatorname{dim}(V).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: V e W são espaços vetoriais sobre o mesmo corpo e têm dimensão finita.
  • Dado: B=\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\} é uma base de V. Logo \dim(V)=n.
  • Dado: L:V\to W é uma transformação linear sobrejetora (isto é, surjetora).
  • Definição implícita: C=\{L(\mathbf{v}_1),\ldots,L(\mathbf{v}_n)\}.
O enunciado pede duas coisas:
  1. Provar que C gera W (isto é, \operatorname{span}\text{(C)}=W).
  2. Provar que \operatorname{dim}(W)\leq\operatorname{dim}(V).

Passo 2

Lembrando definições úteis (explicadas bem devagar).
  • Surjetora: dizer que L é surjetora significa que para todo \mathbf{w}\in W existe pelo menos um \mathbf{v}\in V tal que L(\mathbf{v})=\mathbf{w}. Em notação: \operatorname{Im}(L)=W.
  • Gerar / span: dizemos que um conjunto S\subset W gera W quando todo vetor de W pode ser escrito como combinação linear de vetores de S; em símbolos, \operatorname{span}(S)=W.
  • Base e dimensão: B sendo base de V quer dizer que B é linearmente independente e gera V. A dimensão \dim(V) é o número de vetores em qualquer base de V.
Vou usar essas definições explícitas passo a passo — sem pular etapas.

Passo 3

Provar que C gera W.
Tomemos um vetor arbitrário \mathbf{w}\in W. Como L é surjetora, existe \mathbf{v}\in V tal que
L(\mathbf{v})=\mathbf{w}.
Como B=\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\} é base de V, podemos escrever \mathbf{v} como combinação linear única dos vetores da base:
\mathbf{v}=\alpha_1\mathbf{v}_1+\alpha_2\mathbf{v}_2+\cdots+\alpha_n\mathbf{v}_n,
onde \alpha_1,\ldots,\alpha_n são escalares do corpo.
Aplicando a linearidade de L a essa igualdade, obtemos
\mathbf{w}=L(\mathbf{v})=L\biggl(\sum_{i=1}^n \alpha_i\mathbf{v}_i\biggr) =\sum_{i=1}^n \alpha_i L(\mathbf{v}_i).
Esta expressão mostra que \mathbf{w} é uma combinação linear dos vetores L(\mathbf{v}_1),\ldots,L(\mathbf{v}_n), isto é, \mathbf{w}\in\operatorname{span}\text{(C)}.
Como \mathbf{w} foi um vetor arbitrário de W, concluímos que todo vetor de W pertence a \operatorname{span}\text{(C)}. Assim
\operatorname{span}\text{(C)}=W,
ou seja, C gera W. Bom — primeira parte provada! (Respira, você já foi longe.)

Passo 4

Explicar por que isso implica \dim(W)\le \dim(V).
Agora que sabemos que C gera W, consideremos a possibilidade de C ser linearmente dependente ou independente.
  • Se C já for linearmente independente, então C é uma base de W e tem exatamente n vetores, logo \dim(W)=n=\dim(V) e a desigualdade \dim(W)\le\dim(V) é verdadeira.
  • Se C for linearmente dependente, podemos eliminar vetores dependentes mantendo a propriedade de gerar W: procedimento prático — sempre que um vetor de C for combinação linear dos outros, remova-o; a sobra continua gerando W. Como C tem número finito de vetores ( n vetores), repetindo esse passo um número finito de vezes obtemos um subconjunto C'\subseteq C que gera W e é linearmente independente. Esse C' é então uma base de W.
Chamando m o número de vetores de C', temos \dim(W)=m. Como C' é subconjunto de C e C tem n vetores, tem que ser m\le n. Portanto
\dim(W)=m\le n=\dim(V).
Esse argumento usa apenas a ideia elemental de que de qualquer conjunto finito que gera um espaço vetorial se pode extrair uma base (removendo vetores redundantes). É um procedimento bem direto de aula.

Passo 5

Observação alternativa (mais curta, se já conhecer o teorema da dimensão).
Uma alternativa rápida usando o Teorema do Núcleo e Imagem: para linear L:V\to W vale a fórmula da dimensão
\dim(V)=\dim(\ker L)+\dim(\operatorname{Im} L).
Como L é surjetora, \operatorname{Im} L=W, logo \dim(\operatorname{Im} L)=\dim(W). Daí
\dim(W)=\dim(V)-\dim(\ker L)\le \dim(V),
porque \dim(\ker L)\ge0. Isso dá a mesma desigualdade de forma muito direta. Use essa via se já souber o teorema do núcleo e imagem.

Passo 6

Recapitulando de forma bem direta (para fixar):
  • Surjetividade de L \Rightarrow para todo \mathbf{w}\in W existe \mathbf{v}\in V com L(\mathbf{v})=\mathbf{w}.
  • Expressar \mathbf{v} pela base B e aplicar linearidade mostra que \mathbf{w} é combinação linear dos L(\mathbf{v}_i). Logo C gera W.
  • Removendo vetores redundantes de C obtém-se uma base de W com no máximo n vetores; portanto \dim(W)\le n=\dim(V).

Resposta

C gera W.\n \operatorname{dim}(W)\le \operatorname{dim}(V).

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