Sejam
e
espaços vetoriais definidos sobre um mesmo corpo, ambos com dimensão finita. Seja
uma base de
de modo que
. Seja
uma transformação linear sobrejetora. Prove que
gera
e que
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Dado:
e são espaços vetoriais sobre o mesmo corpo e têm dimensão finita. - Dado:
é uma base de . Logo . - Dado:
é uma transformação linear sobrejetora (isto é, surjetora). - Definição implícita:
.
O enunciado pede duas coisas:
- Provar que
gera (isto é, ). - Provar que
.
Passo 2
Lembrando definições úteis (explicadas bem devagar).
- Surjetora: dizer que
é surjetora significa que para todo existe pelo menos um tal que . Em notação: . - Gerar / span: dizemos que um conjunto
gera quando todo vetor de pode ser escrito como combinação linear de vetores de ; em símbolos, . - Base e dimensão:
sendo base de quer dizer que é linearmente independente e gera . A dimensão é o número de vetores em qualquer base de .
Vou usar essas definições explícitas passo a passo — sem pular etapas.
Passo 3
Provar que
gera
.
Tomemos um vetor arbitrário
. Como
é surjetora, existe
tal que
Como
é base de
, podemos escrever
como combinação linear única dos vetores da base:
onde
são escalares do corpo.
Aplicando a linearidade de
a essa igualdade, obtemos
Esta expressão mostra que
é uma combinação linear dos vetores
, isto é,
.
Como
foi um vetor arbitrário de
, concluímos que todo vetor de
pertence a
. Assim
ou seja,
gera
. Bom — primeira parte provada! (Respira, você já foi longe.)
Passo 4
Explicar por que isso implica
.
Agora que sabemos que
gera
, consideremos a possibilidade de
ser linearmente dependente ou independente.
- Se
já for linearmente independente, então é uma base de e tem exatamente vetores, logo e a desigualdade é verdadeira. - Se
for linearmente dependente, podemos eliminar vetores dependentes mantendo a propriedade de gerar : procedimento prático — sempre que um vetor de for combinação linear dos outros, remova-o; a sobra continua gerando . Como tem número finito de vetores ( vetores), repetindo esse passo um número finito de vezes obtemos um subconjunto que gera e é linearmente independente. Esse é então uma base de .
Chamando
o número de vetores de
, temos
. Como
é subconjunto de
e
tem
vetores, tem que ser
. Portanto
Esse argumento usa apenas a ideia elemental de que de qualquer conjunto finito que gera um espaço vetorial se pode extrair uma base (removendo vetores redundantes). É um procedimento bem direto de aula.
Passo 5
Observação alternativa (mais curta, se já conhecer o teorema da dimensão).
Uma alternativa rápida usando o Teorema do Núcleo e Imagem: para linear
vale a fórmula da dimensão
Como
é surjetora,
, logo
. Daí
porque
. Isso dá a mesma desigualdade de forma muito direta. Use essa via se já souber o teorema do núcleo e imagem.
Passo 6
Recapitulando de forma bem direta (para fixar):
- Surjetividade de
para todo existe com . - Expressar
pela base e aplicar linearidade mostra que é combinação linear dos . Logo gera . - Removendo vetores redundantes de
obtém-se uma base de com no máximo vetores; portanto .