Sejam X e Y variáveis aleatórias iid U(0,1). Sejam Z=X+Y e W=X-Y. Encontre a densidade conjunta de Z e W e as marginais de Z e de W.
14. Sejam X e Y variáveis aleatórias com função densidade de probabilidade conjunta dada por: f_{X, Y}(x, y)=2(x+y) \boldsymbol{I}_{(0<x<y<1)}(x, y). Encontre a densidade de Z=X+Y.

Passo 1

Enunciados e o que se pede:
  • Primeiro exercício: sejam X e Y variáveis aleatórias iid \,U(0,1). Definimos
Z = X + Y,\qquad W = X - Y.
Pede-se: encontrar a densidade conjunta de (Z,W) e as densidades marginais de Z e de W.
  • Segundo exercício (questão 14): sejam X e Y com densidade conjunta
f_{X,Y}(x,y)=2(x+y)\,\boldsymbol{I}_{(0<x<y<1)}(x,y).
Pede-se: encontrar a densidade de Z=X+Y.

Passo 2

Transformação e inversa (primeiro exercício). Vou fazer a mudança de variável de (X,Y) para (Z,W).
  • Defino a transformação
Z = X+Y,\qquad W = X-Y.
  • Inverso (isolando X e Y em função de Z,W):
X = \frac{Z+W}{2},\qquad Y = \frac{Z-W}{2}.
Explicação do porquê: soma e diferença resolvem o sistema linear para X,Y.

Passo 3

Jacobiano da transformação (primeiro exercício). Para mudar densidades é preciso o determinante da Jacobiana da transformação inversa.
  • Matriz Jacobiana da transformação (z,w)\mapsto(x,y) é
J = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \\[4pt] \frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\[4pt] \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}.
  • Determinante:
\det(J)=\left(\tfrac{1}{2}\right)\left(-\tfrac{1}{2}\right)-\left(\tfrac{1}{2}\right)\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{4}=-\tfrac{1}{2}.
  • O valor absoluto do determinante é \tfrac{1}{2}. Na fórmula de mudança de variável usamos \left|\det(J)\right|=\tfrac{1}{2}.
Comentário didático: o Jacobiano mede como uma pequena área em (z,w) se transforma numa área em (x,y). Aqui ele vale \tfrac{1}{2}, então densidade em (z,w) é densidade em (x,y) avaliada na inversa, vezes \tfrac{1}{2}.]

Passo 4

Densidade conjunta de [(Z,W)) (primeiro exercício): expressão e suporte.
  • Como X,Y são iid U(0,1), a densidade conjunta f_{X,Y}(x,y)=1 no quadrado (0,1)\times(0,1) e 0 fora.
  • Pela fórmula da mudança de variável,
f_{Z,W}(z,w)=f_{X,Y}\!\Big(\tfrac{z+w}{2},\tfrac{z-w}{2}\Big)\cdot\left|\det(J)\right| =\;1\cdot\tfrac{1}{2}
desde que \big(\tfrac{z+w}{2},\tfrac{z-w}{2}\big)\in(0,1)\times(0,1); caso contrário f_{Z,W}(z,w)=0.
  • Agora determinamos essas condições explicitamente. As duas desigualdades 0<\tfrac{z+w}{2}<1 e 0<\tfrac{z-w}{2}<1 equivalem a
-w<z,\quad w<2-z,\quad w<z,\quad w>z-2.
Reagrupando:
w>\max(-z,\;z-2),\qquad w<\min(z,\;2-z),
e ainda 0<z<2 (porque z=x+y\in(0,2)).
  • Simplificando por faixas de z:
    • Se 0<z<1 então \max(-z,z-2)=-z e \min(z,2-z)=z. Assim w\in(-z,z).
    • Se 1<z<2 então \max(-z,z-2)=z-2 e \min(z,2-z)=2-z. Assim w\in(z-2,\,2-z).
  • Conclusão: a densidade conjunta é
f_{Z,W}(z,w)=\begin{cases} \tfrac{1}{2}, & \text{se } 0<z<1\text{ e } -z<w<z,\\[4pt] \tfrac{1}{2}, & \text{se } 1<z<2\text{ e } z-2<w<2-z,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
Breve didática: a região passada para (z,w)\] é um losango centrado em \(z=1,w=0; dentro dele a densidade é constante \tfrac{1}{2}.]

Passo 5

Marginal de Z (primeiro exercício). Integro f_{Z,W} em w.
  • Para 0<z<1:
    • intervalo de w tem comprimento z-(-z)=2z.
    • então
    f_Z(z)=\int_{-z}^{z}\tfrac{1}{2}\,dw=\tfrac{1}{2}\cdot(2z)=z.
  • Para 1<z<2:
    • intervalo de w tem comprimento (2-z)-(z-2)=4-2z.
    • então
    f_Z(z)=\int_{z-2}^{\,2-z}\tfrac{1}{2}\,dw=\tfrac{1}{2}\cdot(4-2z)=2-z.
  • Para z\le 0 ou z\ge 2, f_Z(z)=0.
Portanto f_Z é a distribuição triangular clássica da soma de duas U(0,1):
f_Z(z)=\begin{cases} z, & 0<z<1,\\[4pt] 2-z, & 1<z<2,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á]

Passo 6

Marginal de W (primeiro exercício). Integro f_{Z,W} em z.
  • Para um dado w, as condições sobre z vindas de 0<\tfrac{z\pm w}{2}<1 foram, reorganizando,
z>\max(w,-w)=|w|,\qquad z<\min(2-w,2+w)=2-|w|.
  • Assim z\in\big(|w|,\;2-|w|\big). Esse intervalo existe (tem comprimento positivo) quando |w|<1. Para |w|\ge 1 não há z admissível, então f_W(w)=0 fora de (-1,1).
  • O comprimento do intervalo é (2-|w|)-|w|=2-2|w|. Integrando:
f_W(w)=\int_{|w|}^{\,2-|w|}\tfrac{1}{2}\,dz=\tfrac{1}{2}\cdot(2-2|w|)=1-|w|,\qquad |w|<1.
  • Conclusão: f_W(w)=1-|w| para |w|<1 e 0 para |w|\ge 1. É uma distribuição triangular simétrica em torno de 0.

Passo 7

Preparação para o segundo exercício (questão 14). Relembrando o que temos:
f_{X,Y}(x,y)=2(x+y)\,\boldsymbol{I}_{(0<x<y<1)}(x,y).
Queremos f_Z(z) para Z=X+Y. A técnica padrão: usar a fórmula da soma
f_Z(z)=\int f_{X,Y}\big(x,z-x\big)\,dx,
integrando em todos os x tais que (x,z-x) está no suporte \{0<x<y<1\}.

Passo 8

Determinar os limites de integração (segundo exercício).
Condições para que (x,z-x) esteja em \{0<x<y<1\}:
  • x>0.
  • y=z-x> x i.e. x<\tfrac{z}{2}.
  • y=z-x<1 i.e. x> z-1.
Juntando:
x>\max(0,\;z-1),\qquad x<\tfrac{z}{2}.
Portanto os limites são a=\max(0,z-1) e b=z/2, contanto que a<b. Isso determina que z varia em (0,2) e há dois casos importantes:
  • Se 0<z\le 1 então z-1\le 0 e a=0, b=z/2.
  • Se 1<z<2 então z-1>0 e a=z-1, b=z/2.

Passo 9

Calcular f_Z(z) no caso 0<z\le 1 (segundo exercício).
  • Na integral substituímos y=z-x e a densidade:
f_{X,Y}\big(x,z-x\big)=2\big(x+(z-x)\big)=2z,
sempre que (x,z-x) estiver no suporte.
  • Para 0<z\le 1, integrar de x=0 até x=z/2:
f_Z(z)=\int_{0}^{z/2}2z\,dx = 2z\cdot\frac{z}{2}=z^2.

Passo 10

Calcular f_Z(z) no caso 1<z<2 (segundo exercício).
  • Novamente f_{X,Y}\big(x,z-x\big)=2z dentro do intervalo admissível.
  • Para 1<z<2, integrar de x=z-1 até x=z/2:
f_Z(z)=\int_{z-1}^{z/2}2z\,dx = 2z\left(\frac{z}{2}-(z-1)\right)=2z\left(1-\frac{z}{2}\right)=2z-z^2.

Passo 11

Verificações e normalização (breve). As expressões são contínuas em z=1 (dá 1) e fazem com que \int_0^2 f_Z(z)\,dz=1 (checagem rápida: \int_0^1 z^2 dz=1/3 e \int_1^2 (2z-z^2)dz=2/3, somando 1), então estão corretas.

Resposta

Primeiro exercício — densidade conjunta de (Z,W)\) e marginais: \[f_{Z,W}(z,w)=\begin{cases} \dfrac{1}{2}, & 0<z<1\text{ e }-z<w<z,\\[6pt] \dfrac{1}{2}, & 1<z<2\text{ e }\,z-2<w<2-z,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
f_Z(z)=\begin{cases} z, & 0<z<1,\\[4pt] 2-z, & 1<z<2,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
f_W(w)=\begin{cases} 1-|w|, & |w|<1,\\[4pt] 0, & |w|\ge 1. \end{cases}
Segundo exercício (questão 14) — densidade de (Z=X+Y]:
f_Z(z)=\begin{cases} z^{2}, & 0<z\le 1,\\[6pt] 2z-z^{2}, & 1<z<2,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á]

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