Sejam X e Y variáveis aleatórias iid U(0,1). Sejam Z=X+Y e W=X-Y. Encontre a densidade conjunta de Z e W e as marginais de Z e de W.
14. Sejam X e Y variáveis aleatórias com função densidade de probabilidade conjunta dada por: f_{X, Y}(x, y)=2(x+y) \boldsymbol{I}_{(0<x<y<1)}(x, y). Encontre a densidade de Z=X+Y.
Passo 1
Enunciados e o que se pede:
Primeiro exercício: sejam X e Y variáveis aleatórias iid \,U(0,1). Definimos
Z = X + Y,\qquad W = X - Y.
Pede-se: encontrar a densidade conjunta de (Z,W) e as densidades marginais de Z e de W.
Segundo exercício (questão 14): sejam X e Y com densidade conjunta
O valor absoluto do determinante é \tfrac{1}{2}. Na fórmula de mudança de variável usamos \left|\det(J)\right|=\tfrac{1}{2}.
Comentário didático: o Jacobiano mede como uma pequena área em (z,w) se transforma numa área em (x,y). Aqui ele vale \tfrac{1}{2}, então densidade em (z,w) é densidade em (x,y) avaliada na inversa, vezes \tfrac{1}{2}.]
Passo 4
Densidade conjunta de [(Z,W)) (primeiro exercício): expressão e suporte.
Como X,Y são iid U(0,1), a densidade conjunta f_{X,Y}(x,y)=1 no quadrado (0,1)\times(0,1) e 0 fora.
Marginal de W (primeiro exercício). Integro f_{Z,W} em z.
Para um dado w, as condições sobre z vindas de 0<\tfrac{z\pm w}{2}<1 foram, reorganizando,
z>\max(w,-w)=|w|,\qquad z<\min(2-w,2+w)=2-|w|.
Assim z\in\big(|w|,\;2-|w|\big). Esse intervalo existe (tem comprimento positivo) quando |w|<1. Para |w|\ge 1 não há z admissível, então f_W(w)=0 fora de (-1,1).
O comprimento do intervalo é (2-|w|)-|w|=2-2|w|. Integrando:
Verificações e normalização (breve). As expressões são contínuas em z=1 (dá 1) e fazem com que \int_0^2 f_Z(z)\,dz=1 (checagem rápida: \int_0^1 z^2 dz=1/3 e \int_1^2 (2z-z^2)dz=2/3, somando 1), então estão corretas.
Resposta
Primeiro exercício — densidade conjunta de (Z,W)\) e marginais:
\[f_{Z,W}(z,w)=\begin{cases} \dfrac{1}{2}, & 0<z<1\text{ e }-z<w<z,\\[6pt] \dfrac{1}{2}, & 1<z<2\text{ e }\,z-2<w<2-z,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}