1. Sejam \vec{u}=(1,2,3,1) e \vec{v}= (0,2,-1,3). Podemos afirmar que:
    a) \vec{u} \bullet \vec{v}=4

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em \mathbb{R}^4:
\vec{u}=(1,2,3,1),\qquad \vec{v}=(0,2,-1,3).
A pergunta é verificar se a afirmação a) \vec{u}\bullet\vec{v}=4 é verdadeira. Ou seja, precisamos calcular o produto interno (produto escalar) entre \vec{u} e \vec{v} e comparar com 4.

Passo 2

Definição e fórmula do produto escalar em \mathbb{R}^n. Para dois vetores
\vec{a}=(a_1,a_2,\dots,a_n),\qquad \vec{b}=(b_1,b_2,\dots,b_n),
o produto escalar (ou produto interno padrão) é dado por
\vec{a}\bullet\vec{b}=\sum_{i=1}^{n} a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n.
Aqui cada a_i e b_i são as componentes dos vetores; multiplicam-se componente a componente e soma-se tudo. Essa é a fórmula que vamos usar. Propriedades rápidas (úteis na prova): o produto escalar é comutativo ( \vec{a}\bullet\vec{b}=\vec{b}\bullet\vec{a}) e linear em cada argumento.

Passo 3

Identificar as componentes dos vetores dados (peguei estes números do enunciado):
\vec{u}=(u_1,u_2,u_3,u_4)=(1,2,3,1), \qquad \vec{v}=(v_1,v_2,v_3,v_4)=(0,2,-1,3).
Portanto u_1=1, u_2=2, u_3=3, u_4=1; e v_1=0, v_2=2, v_3=-1, v_4=3.

Passo 4

Aplicar a fórmula do produto escalar com essas componentes:
\vec{u}\bullet\vec{v}=u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 + u_4 v_4.
Substituindo os valores:
\vec{u}\bullet\vec{v}=1\cdot 0 + 2\cdot 2 + 3\cdot(-1) + 1\cdot 3.

Passo 5

Calcular cada produto componente a componente (faça isso passo a passo na prova para não errar):
1\cdot 0 = 0, \qquad 2\cdot 2 = 4, \qquad 3\cdot(-1) = -3, \qquad 1\cdot 3 = 3.

Passo 6

Somar os resultados parciais em ordem clara (mostre as somas intermediárias na prova):
0 + 4 = 4, \qquad 4 + (-3) = 1, \qquad 1 + 3 = 4.
Logo
\vec{u}\bullet\vec{v}=4.

Passo 7

Interpretação e checagem extra (opcional, mas boa prática). O produto escalar também se relaciona com o ângulo \theta entre os vetores pela fórmula
\vec{u}\bullet\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta.
Como verificação rápida, pode-se calcular \|\vec{u}\|^2=1^2+2^2+3^2+1^2=15 e \|\vec{v}\|^2=0^2+2^2+(-1)^2+3^2=14. Então \cos\theta=\dfrac{4}{\sqrt{15}\sqrt{14}}, um número razoável entre -1 e 1, o que confirma consistência do resultado numérico.

Resposta

\vec{u}\bullet\vec{v}=4

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