Sejam \vec{v}=(0,-1,3) e \vec{w}=(4,0,-1). Encontrar dois vetores \overrightarrow{v_{1}} e \overrightarrow{v_{2}} tais que \vec{v}=v_{1}+v_{2}, \overrightarrow{v_{1}} é paralelo a \vec{w} e \overrightarrow{v_{2}} é perpendicular a \vec{w}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar dois vetores \overrightarrow{v_{1}} e \overrightarrow{v_{2}} tais que
\vec{v}=\overrightarrow{v_{1}}+\overrightarrow{v_{2}},
com \overrightarrow{v_{1}} paralelo a \vec{w} e \overrightarrow{v_{2}} perpendicular a \vec{w}.
As informações dadas são os vetores
\vec{v}=(0,-1,3),\qquad \vec{w}=(4,0,-1).

Passo 2

Ideia e justificativa do método (explicação didática passo a passo):
  • Se \overrightarrow{v_{1}} é paralelo a \vec{w}, então existe um escalar \lambda tal que \overrightarrow{v_{1}}=\lambda\vec{w}.
  • Se \overrightarrow{v_{2}} é perpendicular a \vec{w}, então \overrightarrow{v_{2}}\cdot\vec{w}=0, onde `` \cdot’’ é o produto escalar (dot product). Lembrete: para vetores a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3) vale
a\cdot b = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
  • Usando \overrightarrow{v_{2}}=\vec{v}-\overrightarrow{v_{1}}=\vec{v}-\lambda\vec{w} e impondo ortogonalidade ao multiplicar escalarmente por \vec{w}, obtemos:
(\vec{v}-\lambda\vec{w})\cdot\vec{w}=0.
Desenvolvendo isso:
\vec{v}\cdot\vec{w}-\lambda(\vec{w}\cdot\vec{w})=0\quad\Rightarrow\quad \lambda=\dfrac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\vec{w}\cdot\vec{w}}.
Essa fórmula é a projeção de \vec{v} sobre \vec{w} multiplicada por \vec{w}, e fornece exatamente o componente de \vec{v} paralelo a \vec{w}.

Passo 3

Calcular os produtos escalares necessários:
\vec{v}\cdot\vec{w} = (0)\cdot(4)+(-1)\cdot(0)+3\cdot(-1) = 0+0-3 = -3.
\vec{w}\cdot\vec{w} = 4^2+0^2+(-1)^2 = 16+0+1 = 17.

Passo 4

Calcular \lambda e então \overrightarrow{v_{1}}=\lambda\vec{w}:
\lambda=\dfrac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\vec{w}\cdot\vec{w}}=\dfrac{-3}{17}.
\overrightarrow{v_{1}}=\lambda\vec{w}=\dfrac{-3}{17}(4,0,-1)=\left(\dfrac{-3\cdot4}{17},\dfrac{-3\cdot0}{17},\dfrac{-3\cdot(-1)}{17}\right)=\left(-\dfrac{12}{17},0,\dfrac{3}{17}\right).

Passo 5

Calcular \overrightarrow{v_{2}}=\vec{v}-\overrightarrow{v_{1}} componente a componente:
\overrightarrow{v_{2}}=(0,-1,3)-\left(-\dfrac{12}{17},0,\dfrac{3}{17}\right)=\left(0+\dfrac{12}{17},-1-0,3-\dfrac{3}{17}\right).
Simplificando:
\overrightarrow{v_{2}}=\left(\dfrac{12}{17},-1,\dfrac{51}{17}-\dfrac{3}{17}\right)=\left(\dfrac{12}{17},-1,\dfrac{48}{17}\right).

Passo 6

Verificação (para confirmar que \overrightarrow{v_{2}} é realmente perpendicular a \vec{w}):
\overrightarrow{v_{2}}\cdot\vec{w}=\dfrac{12}{17}\cdot4+(-1)\cdot0+\dfrac{48}{17}\cdot(-1)=\dfrac{48}{17}+0-\dfrac{48}{17}=0,
logo \overrightarrow{v_{2}} é ortogonal a \vec{w}. Também \overrightarrow{v_{1}}+\overrightarrow{v_{2}}=(0,-1,3)=\vec{v}, como pedido.

Resposta

\overrightarrow{v_{1}}=\left(-\dfrac{12}{17},0,\dfrac{3}{17}\right)
\overrightarrow{v_{2}}=\left(\dfrac{12}{17},-1,\dfrac{48}{17}\right)

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