Sejam \vec{v}=(0,-1,3) e \vec{w}=(4,0,-1). Encontrar dois vetores \overrightarrow{v_{1}} e \overrightarrow{v_{2}} tais que \vec{v}=v_{1}+v_{2}, \overrightarrow{v_{1}} é paralelo a \vec{w} e \overrightarrow{v_{2}} é perpendicular a \vec{w}.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar dois vetores \overrightarrow{v_{1}} e \overrightarrow{v_{2}} tais que
com \overrightarrow{v_{1}} paralelo a \vec{w} e \overrightarrow{v_{2}} perpendicular a \vec{w}.
As informações dadas são os vetores
\vec{v}=(0,-1,3),\qquad \vec{w}=(4,0,-1).
Passo 2
Ideia e justificativa do método (explicação didática passo a passo):
Se \overrightarrow{v_{1}} é paralelo a \vec{w}, então existe um escalar \lambda tal que \overrightarrow{v_{1}}=\lambda\vec{w}.
Se \overrightarrow{v_{2}} é perpendicular a \vec{w}, então \overrightarrow{v_{2}}\cdot\vec{w}=0, onde ``\cdot’’ é o produto escalar (dot product). Lembrete: para vetores a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3) vale
a\cdot b = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Usando \overrightarrow{v_{2}}=\vec{v}-\overrightarrow{v_{1}}=\vec{v}-\lambda\vec{w} e impondo ortogonalidade ao multiplicar escalarmente por \vec{w}, obtemos: