Sejam \vec{u} e \vec{v} vetores unitários e ortogonais. Considere o sistema nas incógnitas \vec{x} e \vec{y} :
\left\{\begin{array}{l} \vec{x}+2 \vec{y}=7 \vec{u} \\\\ 3 \vec{x}-\vec{y}=14 \vec{u}+7 \vec{v} \end{array}\right.
Podemos afirmar que o valor de \vec{x} \bullet \vec{y} é igual a:

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
  • Informações dadas:
    • \vec{u}\) e \(\vec{v}\) são vetores unitários e ortogonais. Ou seja, \[\vec{u}\cdot\vec{u}=1,\qquad \vec{v}\cdot\vec{v}=1,\qquad \vec{u}\cdot\vec{v}=0.
    • Sistema de vetores desconhecidos \vec{x} e \vec{y}: \begin{cases} \vec{x}+2\vec{y}=7\vec{u},\\[4pt] 3\vec{x}-\vec{y}=14\vec{u}+7\vec{v}. \end{cases}
  • O que o problema pede:
    • Calcular o valor do produto escalar (\vec{x}\cdot\vec{y}].]

Passo 2

Estratégia e razão do método (explicando a ideia passo a passo).
  • Como \vec{u} e \vec{v} são ortogonais e unitários, qualquer vetor no plano gerado por eles pode ser escrito como combinação linear \alpha\vec{u}+\beta\vec{v}. Vou escrever \vec{x} e \vec{y} nessas componentes escalares porque transforma o sistema vetorial em um sistema linear de escalares mais fácil de resolver.
  • Escrevo \vec{x}=a\vec{u}+b\vec{v},\qquad \vec{y}=c\vec{u}+d\vec{v},onde a,b,c,d são números reais desconhecidos. Isso é só decompor nos dois eixos ortogonais \vec{u} e \vec{v}.

Passo 3

Substituir as decomposições nas equações vetoriais e separar nas componentes \vec{u}\) e \(\vec{v}\). - Na primeira equação \(\vec{x}+2\vec{y}=7\vec{u}\) substituindo: \[(a\vec{u}+b\vec{v})+2(c\vec{u}+d\vec{v})=(a+2c)\vec{u}+(b+2d)\vec{v}=7\vec{u}+0\vec{v}.
Igualando coeficientes em \vec{u} e \vec{v} obtemos o sistema:
\begin{cases} a+2c=7,\\[4pt] b+2d=0. \end{cases}
  • Na segunda equação (3\vec{x}-\vec{y}=14\vec{u}+7\vec{v}] substituindo:
    3(a\vec{u}+b\vec{v})-(c\vec{u}+d\vec{v})=(3a-c)\vec{u}+(3b-d)\vec{v}=14\vec{u}+7\vec{v}.
    Igualando coeficientes:
    \begin{cases} 3a-c=14,\\[4pt] 3b-d=7. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema para as componentes na direção de \vec{u}\) (encontrar \(a\) e \(c\)). - Temos \[\begin{cases} a+2c=7,\\[4pt] 3a-c=14. \end{cases}
  • Multiplico a primeira por 3\] e subtraio a segunda para eliminar \(a: 3a+6c=21,\qquad 3a-c=14.Subtraindo: (3a+6c)-(3a-c)=21-14\Rightarrow 7c=7\Rightarrow c=1.
  • Substituo em a+2c=7: a+2\cdot 1=7\Rightarrow a=5.]

Passo 5

Resolver o sistema para as componentes na direção de \vec{v}\) (encontrar \(b\) e \(d\)). - Temos \[\begin{cases} b+2d=0,\\[4pt] 3b-d=7. \end{cases}
  • Multiplico a primeira por 3\]: \(3b+6d=0. Subtraio a segunda: (3b+6d)-(3b-d)=0-7\Rightarrow 7d=-7\Rightarrow d=-1.
  • Substituo em b+2d=0: b+2(-1)=0\Rightarrow b=2.]

Passo 6

Calcular o produto escalar \vec{x}\cdot\vec{y} usando as componentes encontradas e explicar por que funciona.
  • Em geral, se \vec{x}=a\vec{u}+b\vec{v} e \vec{y}=c\vec{u}+d\vec{v} com \vec{u} e \vec{v} ortonormais, então \vec{x}\cdot\vec{y}=ac(\vec{u}\cdot\vec{u})+ad(\vec{u}\cdot\vec{v})+bc(\vec{v}\cdot\vec{u})+bd(\vec{v}\cdot\vec{v}).Como \vec{u}\cdot\vec{u}=1, \vec{v}\cdot\vec{v}=1 e \vec{u}\cdot\vec{v}=0, isso reduz para \vec{x}\cdot\vec{y}=ac+bd.
  • Substituindo a=5, b=2, c=1, d=-1: \vec{x}\cdot\vec{y}=5\cdot 1 + 2\cdot(-1)=5-2=3.

Resposta

3

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