Podemos afirmar que o valor de \vec{x} \bullet \vec{y} é igual a:
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
Informações dadas:
\vec{u}\) e \(\vec{v}\) são vetores unitários e ortogonais. Ou seja,
\[\vec{u}\cdot\vec{u}=1,\qquad \vec{v}\cdot\vec{v}=1,\qquad \vec{u}\cdot\vec{v}=0.
Sistema de vetores desconhecidos \vec{x} e \vec{y}:\begin{cases} \vec{x}+2\vec{y}=7\vec{u},\\[4pt] 3\vec{x}-\vec{y}=14\vec{u}+7\vec{v}. \end{cases}
O que o problema pede:
Calcular o valor do produto escalar (\vec{x}\cdot\vec{y}].]
Passo 2
Estratégia e razão do método (explicando a ideia passo a passo).
Como \vec{u} e \vec{v} são ortogonais e unitários, qualquer vetor no plano gerado por eles pode ser escrito como combinação linear \alpha\vec{u}+\beta\vec{v}. Vou escrever \vec{x} e \vec{y} nessas componentes escalares porque transforma o sistema vetorial em um sistema linear de escalares mais fácil de resolver.
Escrevo\vec{x}=a\vec{u}+b\vec{v},\qquad \vec{y}=c\vec{u}+d\vec{v},onde a,b,c,d são números reais desconhecidos. Isso é só decompor nos dois eixos ortogonais \vec{u} e \vec{v}.
Passo 3
Substituir as decomposições nas equações vetoriais e separar nas componentes \vec{u}\) e \(\vec{v}\).
- Na primeira equação \(\vec{x}+2\vec{y}=7\vec{u}\) substituindo:
\[(a\vec{u}+b\vec{v})+2(c\vec{u}+d\vec{v})=(a+2c)\vec{u}+(b+2d)\vec{v}=7\vec{u}+0\vec{v}.
Igualando coeficientes em \vec{u} e \vec{v} obtemos o sistema:
\begin{cases} a+2c=7,\\[4pt] b+2d=0. \end{cases}
Na segunda equação (3\vec{x}-\vec{y}=14\vec{u}+7\vec{v}] substituindo: 3(a\vec{u}+b\vec{v})-(c\vec{u}+d\vec{v})=(3a-c)\vec{u}+(3b-d)\vec{v}=14\vec{u}+7\vec{v}.
Igualando coeficientes: \begin{cases} 3a-c=14,\\[4pt] 3b-d=7. \end{cases}]
Passo 4
Resolver o sistema para as componentes na direção de \vec{u}\) (encontrar \(a\) e \(c\)).
- Temos
\[\begin{cases} a+2c=7,\\[4pt] 3a-c=14. \end{cases}
Multiplico a primeira por 3\] e subtraio a segunda para eliminar \(a:3a+6c=21,\qquad 3a-c=14.Subtraindo: (3a+6c)-(3a-c)=21-14\Rightarrow 7c=7\Rightarrow c=1.
Substituo em a+2c=7: a+2\cdot 1=7\Rightarrow a=5.]
Passo 5
Resolver o sistema para as componentes na direção de \vec{v}\) (encontrar \(b\) e \(d\)).
- Temos
\[\begin{cases} b+2d=0,\\[4pt] 3b-d=7. \end{cases}
Multiplico a primeira por 3\]: \(3b+6d=0. Subtraio a segunda: (3b+6d)-(3b-d)=0-7\Rightarrow 7d=-7\Rightarrow d=-1.
Substituo em b+2d=0: b+2(-1)=0\Rightarrow b=2.]
Passo 6
Calcular o produto escalar \vec{x}\cdot\vec{y} usando as componentes encontradas e explicar por que funciona.
Em geral, se \vec{x}=a\vec{u}+b\vec{v} e \vec{y}=c\vec{u}+d\vec{v} com \vec{u} e \vec{v} ortonormais, então\vec{x}\cdot\vec{y}=ac(\vec{u}\cdot\vec{u})+ad(\vec{u}\cdot\vec{v})+bc(\vec{v}\cdot\vec{u})+bd(\vec{v}\cdot\vec{v}).Como \vec{u}\cdot\vec{u}=1, \vec{v}\cdot\vec{v}=1 e \vec{u}\cdot\vec{v}=0, isso reduz para\vec{x}\cdot\vec{y}=ac+bd.