(a) Calcule o erro absoluto e o erro relativo entre \boldsymbol{v} e \overline{\boldsymbol{v}} usando as normas \|\cdot\|_{1},\|\cdot\|_{2} e \|\cdot\|_{\infty}.
(b) Apresente os resultados em um quadro comparativo:
Norma
\|\cdot\|_{1}
\|\cdot\|_{2}
\|\cdot\|_{\infty}
E_{A}
E_{R}
E_{R P}=100 E_{R}(\%)
(c) Comente qual norma resulta em maior valor de erro absoluto e qual é mais sensível a pequenas variações em uma única componente do vetor.
(a) Calcular o erro absoluto e o erro relativo entre \boldsymbol{v} e \overline{\boldsymbol{v}} usando as normas \|\cdot\|_{1},\|\cdot\|_{2} e \|\cdot\|_{\infty}.\n
(b) Apresentar os resultados em um quadro comparativo (ou seja, listar E_A, E_R e E_{RP}=100E_R(\%) para cada norma).\n
(c) Comentar qual norma fornece maior valor de erro absoluto e qual norma é mais sensível a pequenas variações em uma única componente do vetor.\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado que vou usar: os componentes de \boldsymbol{v} e de \overline{\boldsymbol{v}}. Não há mais dados externos. A partir daqui eu calculo o vetor erro e aplico as definições de norma e de erro relativo.
Aqui \|\boldsymbol{x}\|_\infty é o maior valor absoluto entre as componentes; mede o pior erro numa única componente (o “caso mais grave”).\n
Erro absoluto para uma norma qualquer é
Comentário (parte (c)) — interpretação e sensibilidade:
Qual norma resulta em maior valor de erro absoluto? A maior é a norma 1: \|\boldsymbol{e}\|_1=0{,}5 (maior que 0{,}3 e 0{,}2). Intuitivamente, a norma 1 soma todas as discrepâncias componente a componente, portanto penaliza o erro total acumulado; quando várias componentes têm pequenos erros, a soma pode ser relativamente grande.
Qual norma é mais sensível a pequenas variações em uma única componente? A norma \infty é a mais adequada para detectar variações numa única componente, pois ela pega o máximo absoluto entre as componentes. Se uma única componente sofre uma pequena variação \varepsilon e essa componente for a maior em módulo, a norma \infty muda exatamente em \varepsilon. Em contraste, a norma 2 e a norma 1 “diluem” essa variação: a norma 1 aumenta em \varepsilon (porque soma), mas se houver variações em várias componentes a soma pode esconder qual foi a componente mais afetada; a norma 2 aumenta aproximadamente em \varepsilon multiplicado por um fator relacionado à posição no vetor (pela derivada da raiz quadrada), então sua resposta à mudança de uma única componente é menos direta que a da norma \infty. Portanto, se seu interesse é detectar o pior caso (a maior discrepância numa componente), use \|\cdot\|_\infty.
Um jeito prático de ver: se só uma componente muda de x_j para x_j+\varepsilon e essa componente é a maior em módulo, então
\|\cdot\|_\infty \text{ muda em } \varepsilon,
o que mostra a sensibilidade direta.
Resposta
\|\cdot\|_1:\;E_A=0{,}5,\;E_R=\dfrac{1}{12}\approx0{,}0833333,\;E_{RP}\approx8{,}33333\%.\n \|\cdot\|_2:\;E_A=0{,}3,\;E_R=\dfrac{0{,}3}{\sqrt{14}}\approx0{,}080165,\;E_{RP}\approx8{,}0165\%.\n \|\cdot\|_{\infty}:\;E_A=0{,}2,\;E_R=\dfrac{1}{15}\approx0{,}0666667,\;E_{RP}\approx6{,}66667\%.\n
Maior erro absoluto: \|\cdot\|_1 (valor 0{,}5).\n
Mais sensível a pequenas variações em uma única componente: \|\cdot\|_{\infty} (porque mede o máximo componente, detectando o “pior caso”).