Sejam os vetores em \mathbb{R}^{3} :
\boldsymbol{v}=(3,-2,1), \quad \overline{\boldsymbol{v}}=(2.8,-2.2,0.9) .
(a) Calcule o erro absoluto e o erro relativo entre \boldsymbol{v} e \overline{\boldsymbol{v}} usando as normas \|\cdot\|_{1},\|\cdot\|_{2} e \|\cdot\|_{\infty}.
(b) Apresente os resultados em um quadro comparativo:
Norma \|\cdot\|_{1} \|\cdot\|_{2} \|\cdot\|_{\infty}
E_{A}
E_{R}
E_{R P}=100 E_{R}(\%)
(c) Comente qual norma resulta em maior valor de erro absoluto e qual é mais sensível a pequenas variações em uma única componente do vetor.

Passo 1

O enunciado dá os vetores em \mathbb{R}^3
\boldsymbol{v}=(3,-2,1),\qquad \overline{\boldsymbol{v}}=(2.8,-2.2,0.9).
O que se pede:
  1. (a) Calcular o erro absoluto e o erro relativo entre \boldsymbol{v} e \overline{\boldsymbol{v}} usando as normas \|\cdot\|_{1},\|\cdot\|_{2} e \|\cdot\|_{\infty}.\n
  2. (b) Apresentar os resultados em um quadro comparativo (ou seja, listar E_A, E_R e E_{RP}=100E_R(\%) para cada norma).\n
  3. (c) Comentar qual norma fornece maior valor de erro absoluto e qual norma é mais sensível a pequenas variações em uma única componente do vetor.\n
    Informações relevantes dadas pelo enunciado que vou usar: os componentes de \boldsymbol{v} e de \overline{\boldsymbol{v}}. Não há mais dados externos. A partir daqui eu calculo o vetor erro e aplico as definições de norma e de erro relativo.

Passo 2

Calculo do vetor erro (diferença)
\boldsymbol{e}=\boldsymbol{v}-\overline{\boldsymbol{v}}.
Componentes:
\begin{aligned} e_1&=3-2{,}8=0{,}2,\\\ e_2&=(-2)-(-2{,}2)=0{,}2,\\\ e_3&=1-0{,}9=0{,}1. \end{aligned}
Logo
\boldsymbol{e}=(0{,}2,\;0{,}2,\;0{,}1).
(Isto é só subtrair componente a componente; já dá uma ideia rápida de quão pequenos são os erros.)

Passo 3

Definições das normas que vamos usar (aula rapidinha):
\text{Norma }1:\qquad \|\boldsymbol{x}\|_1=\sum_{i=1}^n|x_i|.
Aqui \|\boldsymbol{x}\|_1 é a soma dos valores absolutos das componentes; mede “erro total” somando tudo.\n
\text{Norma }2:\qquad \|\boldsymbol{x}\|_2=\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}.
Aqui \|\boldsymbol{x}\|_2 é a norma euclidiana (distância usual). Calculamos somando quadrados e tirando raiz.\n
\text{Norma }\infty:\qquad \|\boldsymbol{x}\|_\infty=\max_{1\le i\le n}|x_i|.
Aqui \|\boldsymbol{x}\|_\infty é o maior valor absoluto entre as componentes; mede o pior erro numa única componente (o “caso mais grave”).\n
Erro absoluto para uma norma qualquer é
E_A=\|\boldsymbol{e}\|,
e erro relativo é
E_R=\frac{\|\boldsymbol{e}\|}{\|\boldsymbol{v}\|},
onde \|\boldsymbol{v}\| é a norma do vetor exato \boldsymbol{v} na mesma norma usada no numerador. A porcentagem é E_{RP}=100\cdot E_R(\%).

Passo 4

Cálculo do erro absoluto em cada norma usando \boldsymbol{e}=(0{,}2,0{,}2,0{,}1).
Norma 1:
\|\boldsymbol{e}\|_1=|0{,}2|+|0{,}2|+|0{,}1|=0{,}2+0{,}2+0{,}1=0{,}5.
Norma 2:
\|\boldsymbol{e}\|_2=\sqrt{0{,}2^2+0{,}2^2+0{,}1^2} =\sqrt{0{,}04+0{,}04+0{,}01} =\sqrt{0{,}09}=0{,}3.
Norma \infty:
\|\boldsymbol{e}\|_\infty=\max\{0{,}2,0{,}2,0{,}1\}=0{,}2.
Portanto os erros absolutos são \|\boldsymbol{e}\|_1=0{,}5, \|\boldsymbol{e}\|_2=0{,}3 e \|\boldsymbol{e}\|_\infty=0{,}2.

Passo 5

Cálculo das normas do vetor exato \boldsymbol{v}=(3,-2,1) (necessárias para o erro relativo).
Norma 1:
\|\boldsymbol{v}\|_1=|3|+|-2|+|1|=3+2+1=6.
Norma 2:
\|\boldsymbol{v}\|_2=\sqrt{3^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{9+4+1}=\sqrt{14}.
Norma \infty:
\|\boldsymbol{v}\|_\infty=\max\{|3|,|{-2}|,|1|\}=\max\{3,2,1\}=3.

Passo 6

Cálculo dos erros relativos \displaystyle E_R=\frac{\|\boldsymbol{e}\|}{\|\boldsymbol{v}\|} e da porcentagem E_{RP}=100E_R(\%).
Para \|\cdot\|_1:
E_{R}^{(1)}=\frac{\|\boldsymbol{e}\|_1}{\|\boldsymbol{v}\|_1}=\frac{0{,}5}{6}=\frac{1}{12}\approx 0{,}0833333.
E_{RP}^{(1)}=100\cdot E_{R}^{(1)}\approx 8{,}33333\%.
Para \|\cdot\|_2:
E_{R}^{(2)}=\frac{\|\boldsymbol{e}\|_2}{\|\boldsymbol{v}\|_2}=\frac{0{,}3}{\sqrt{14}}\approx\frac{0{,}3}{3{,}741657387}\approx 0{,}080165.
E_{RP}^{(2)}\approx 8{,}0165\%.
Para \|\cdot\|_{\infty}:
E_{R}^{(\infty)}=\frac{\|\boldsymbol{e}\|_\infty}{\|\boldsymbol{v}\|_\infty}=\frac{0{,}2}{3}=\frac{1}{15}\approx 0{,}0666667.
E_{RP}^{(\infty)}\approx 6{,}66667\%.

Passo 7

Quadro comparativo (valores numéricos já calculados). Vou listar cada célula de forma clara:
Norma \|\cdot\|_1: \;E_A=0{,}5, \;E_R=\dfrac{1}{12}\approx0{,}0833333, \;E_{RP}\approx8{,}33333\%.\n
Norma \|\cdot\|_2: \;E_A=0{,}3, \;E_R=\dfrac{0{,}3}{\sqrt{14}}\approx0{,}080165, \;E_{RP}\approx8{,}0165\%.\n
Norma \|\cdot\|_{\infty}: \;E_A=0{,}2, \;E_R=\dfrac{1}{15}\approx0{,}0666667, \;E_{RP}\approx6{,}66667\%.

Passo 8

Comentário (parte (c)) — interpretação e sensibilidade:
  • Qual norma resulta em maior valor de erro absoluto? A maior é a norma 1: \|\boldsymbol{e}\|_1=0{,}5 (maior que 0{,}3 e 0{,}2). Intuitivamente, a norma 1 soma todas as discrepâncias componente a componente, portanto penaliza o erro total acumulado; quando várias componentes têm pequenos erros, a soma pode ser relativamente grande.
  • Qual norma é mais sensível a pequenas variações em uma única componente? A norma \infty é a mais adequada para detectar variações numa única componente, pois ela pega o máximo absoluto entre as componentes. Se uma única componente sofre uma pequena variação \varepsilon e essa componente for a maior em módulo, a norma \infty muda exatamente em \varepsilon. Em contraste, a norma 2 e a norma 1 “diluem” essa variação: a norma 1 aumenta em \varepsilon (porque soma), mas se houver variações em várias componentes a soma pode esconder qual foi a componente mais afetada; a norma 2 aumenta aproximadamente em \varepsilon multiplicado por um fator relacionado à posição no vetor (pela derivada da raiz quadrada), então sua resposta à mudança de uma única componente é menos direta que a da norma \infty. Portanto, se seu interesse é detectar o pior caso (a maior discrepância numa componente), use \|\cdot\|_\infty.
Um jeito prático de ver: se só uma componente muda de x_j para x_j+\varepsilon e essa componente é a maior em módulo, então
\|\cdot\|_\infty \text{ muda em } \varepsilon,
o que mostra a sensibilidade direta.

Resposta

\|\cdot\|_1:\;E_A=0{,}5,\;E_R=\dfrac{1}{12}\approx0{,}0833333,\;E_{RP}\approx8{,}33333\%.\n
\|\cdot\|_2:\;E_A=0{,}3,\;E_R=\dfrac{0{,}3}{\sqrt{14}}\approx0{,}080165,\;E_{RP}\approx8{,}0165\%.\n
\|\cdot\|_{\infty}:\;E_A=0{,}2,\;E_R=\dfrac{1}{15}\approx0{,}0666667,\;E_{RP}\approx6{,}66667\%.\n
Maior erro absoluto: \|\cdot\|_1 (valor 0{,}5).\n
Mais sensível a pequenas variações em uma única componente: \|\cdot\|_{\infty} (porque mede o máximo componente, detectando o “pior caso”).

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