Nas séries abaixo, verifique quais convergem e quais divergem. Você pode usar que
diverge e que
converge se
.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para verificar se ela converge ou diverge. Informação fornecida que pode ser usada:
diverge e
converge se
.
Passo 2
Vou explicar um teste que é o mais direto aqui: o Teste da Raiz (Root test). O teste diz o seguinte.
Seja
uma sequência de termos não-negativos. Defina
- Se
, então a série converge absolutamente (logo converge). - Se
, então a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Explicando cada parte de modo simples:
é a “raízn-ésima” do termo
; estamos verificando se essa quantidade tende a algo menor que
. Quando ela tende a um número menor que
, os termos
diminuem, em média, com taxa exponencial suficiente para garantir convergência (pense em comparação com uma série geométrica).
Passo 3
Aplicar o Teste da Raiz aos termos
Calculo a raiz enésima:
Agora avalio o limite quando
:
porque
quando
, então o recíproco tende a
.
Passo 4
Interpretação pelo Teste da Raiz: o limite
é
, ou seja
. Portanto a série converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência, então a série converge.
Passo 5
Comentário didático adicional (como usar isso rapidamente na prova): perceber que
tem potência
no denominador sugere usar Teste da Raiz porque a raíz enésima “cancela” o expoente
. Outra maneira rápida de ver convergência é notar que, para
grande,
(por exemplo para
), então
para todo
suficientemente grande, e como
é uma série geométrica convergente, a comparação direta também mostra a convergência. Mas o Teste da Raiz é mais elegante e imediado aqui.
Resposta
A série converge (convergência absoluta).