Nas séries abaixo, verifique quais convergem e quais divergem. Você pode usar que \sum \frac{1}{n} diverge e que \sum \frac{1}{n^{p}} converge se p>1.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln (n))^{n}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln(n))^{n}}
e pede para verificar se ela converge ou diverge. Informação fornecida que pode ser usada: \sum \frac{1}{n} diverge e \sum \frac{1}{n^{p}} converge se p>1.

Passo 2

Vou explicar um teste que é o mais direto aqui: o Teste da Raiz (Root test). O teste diz o seguinte.
Seja a_n uma sequência de termos não-negativos. Defina
L=\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}.
  • Se L<1, então a série \sum a_n converge absolutamente (logo converge).
  • Se L>1, então a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Explicando cada parte de modo simples: \sqrt[n]{a_n} é a “raízn-ésima” do termo a_n; estamos verificando se essa quantidade tende a algo menor que 1. Quando ela tende a um número menor que 1, os termos a_n diminuem, em média, com taxa exponencial suficiente para garantir convergência (pense em comparação com uma série geométrica).

Passo 3

Aplicar o Teste da Raiz aos termos
a_n=\frac{1}{(\ln(n))^{n}}.
Calculo a raiz enésima:
\sqrt[n]{a_n}=\sqrt[n]{\frac{1}{(\ln(n))^{n}}}=\frac{1}{\ln(n)}.
Agora avalio o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\ln(n)}=0,
porque \ln(n)\to\infty quando n\to\infty, então o recíproco tende a 0.

Passo 4

Interpretação pelo Teste da Raiz: o limite L é 0, ou seja L<1. Portanto a série converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência, então a série converge.

Passo 5

Comentário didático adicional (como usar isso rapidamente na prova): perceber que \frac{1}{(\ln n)^n} tem potência n no denominador sugere usar Teste da Raiz porque a raíz enésima “cancela” o expoente n. Outra maneira rápida de ver convergência é notar que, para n grande, \ln(n)>2 (por exemplo para n\ge 8), então
\frac{1}{(\ln n)^n}\le \frac{1}{2^n}
para todo n suficientemente grande, e como \sum 2^{-n} é uma série geométrica convergente, a comparação direta também mostra a convergência. Mas o Teste da Raiz é mais elegante e imediado aqui.

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

Exercícios relacionados