Sesa V espacy vetorial sobre R, v \in V. Provar que o conjunto \mathbb{R} \cdot v=\{\alpha v: \alpha \in \mathbb{R}\} é um subespaco de V.

Passo 1

O enunciado dá:
  • V é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.
  • v\in V.
  • Define-se o conjunto \mathbb{R}\cdot v=\{\alpha v:\alpha\in\mathbb{R}\}.
O que se pede:
  • Provar que o conjunto \mathbb{R}\cdot v é um subespaço de V.
Informações relevantes fornecidas:
  • Está dada a operação de soma em V e a multiplicação por escalar (já que V é espaço vetorial sobre \mathbb{R}).
  • O conjunto \mathbb{R}\cdot v consiste exatamente de todos os múltiplos escalares de v.

Passo 2

Definição (teste prático para subespaço).
Para mostrar que um subconjunto W\subseteq V é subespaço de V basta provar três coisas:
  1. W não é vazio (normalmente mostramos que o vetor nulo 0_V pertence a W);
  2. W é fechado por soma: se x,y\in W então x+y\in W;
  3. W é fechado por multiplicação escalar: se x\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda x\in W.
Vou aplicar esse teste ao conjunto W=\mathbb{R}\cdot v. Antes de começar, lembro (para usar nas contas) algumas propriedades dos espaços vetoriais que são axiomas:
  • Distributividade do produto escalar sobre soma de escalares: para todos \alpha,\beta\in\mathbb{R} e todo w\in V,
(\alpha+\beta)w=\alpha w+\beta w.
  • Associatividade entre escalares e vetores: para todos \alpha,\beta\in\mathbb{R} e todo w\in V,
\alpha(\beta w)=(\alpha\beta)w.
  • Existe o vetor nulo 0_V em V tal que w+0_V=w para todo w\in V. Além disso, vale a propriedade (que se demonstra a partir dos axiomas) que
0\cdot w=0_V\quad\text{para todo }w\in V,
ou seja, multiplicar por 0 dá o vetor nulo.

Passo 3

Mostrar que \mathbb{R}\cdot v não é vazio (contém 0_V).
Considere o escalar 0\in\mathbb{R}. Pelo axioma da multiplicação por escalar e usando a distributividade em relação à adição de escalares, temos
0\cdot v=(0+0)\cdot v=0\cdot v+0\cdot v.
Seja w=0\cdot v. A equação acima diz w=w+w. Subtraindo w (isto é, somando o inverso aditivo de w) de ambos os lados obtemos 0_V=w. Logo
0_V=0\cdot v\in\mathbb{R}\cdot v.
Portanto \mathbb{R}\cdot v não é vazio.

Passo 4

Fechamento por soma.
Tome x,y\in\mathbb{R}\cdot v. Por definição do conjunto, existem escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que x=\alpha v e y=\beta v. Usando a distributividade do produto escalar sobre a adição de escalares, obtemos
x+y=\alpha v+\beta v=(\alpha+\beta)v.
Como \alpha+\beta\in\mathbb{R}, o vetor (\alpha+\beta)v pertence a \mathbb{R}\cdot v. Assim x+y\in\mathbb{R}\cdot v. Logo \mathbb{R}\cdot v é fechado por soma.

Passo 5

Fechamento por multiplicação escalar.
Tome \gamma\in\mathbb{R} e x\in\mathbb{R}\cdot v. Pelo mesmo raciocínio há \alpha\in\mathbb{R} com x=\alpha v. Usando associatividade da multiplicação de escalares com a multiplicação escalar no espaço vetorial,
\gamma x=\gamma(\alpha v)=(\gamma\alpha)v.
Como \gamma\alpha\in\mathbb{R}, segue que \gamma x\in\mathbb{R}\cdot v. Portanto \mathbb{R}\cdot v é fechado por multiplicação escalar.

Passo 6

Conclusão.
Mostramos que \mathbb{R}\cdot v contém 0_V, é fechado por soma e por multiplicação escalar. Pelas condições do teste para subespaço, isso implica que \mathbb{R}\cdot v é um subespaço de V.
Observação adicional (didática e intuitiva): \mathbb{R}\cdot v é justamente a reta (ou linha) através da origem de V gerada por v; em linguagem padrão de álgebra linear, \mathbb{R}\cdot v=\operatorname{span}\{v\}. No caso especial v=0_V, tem-se \mathbb{R}\cdot v=\{0_V\}, que também é um subespaço (a reta degenerada).

Resposta

\mathbb{R}\cdot v é um subespaço de V.

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