Sesa
espacy vetorial sobre
. Provar que o conjunto
é um subespaco de
.
Passo 1
O enunciado dá:
-
é um espaço vetorial sobre . -
. - Define-se o conjunto
.
O que se pede:
- Provar que o conjunto
é um subespaço de .
Informações relevantes fornecidas:
- Está dada a operação de soma em
e a multiplicação por escalar (já que é espaço vetorial sobre ). - O conjunto
consiste exatamente de todos os múltiplos escalares de .
Passo 2
Definição (teste prático para subespaço).
Para mostrar que um subconjunto é subespaço de
basta provar três coisas:
Para mostrar que um subconjunto
-
não é vazio (normalmente mostramos que o vetor nulo pertence a ); -
é fechado por soma: se então ; -
é fechado por multiplicação escalar: se e então .
Vou aplicar esse teste ao conjunto
. Antes de começar, lembro (para usar nas contas) algumas propriedades dos espaços vetoriais que são axiomas:
- Distributividade do produto escalar sobre soma de escalares: para todos
e todo ,
- Associatividade entre escalares e vetores: para todos
e todo ,
- Existe o vetor nulo
em tal que para todo . Além disso, vale a propriedade (que se demonstra a partir dos axiomas) que
ou seja, multiplicar por
dá o vetor nulo.
Passo 3
Mostrar que
não é vazio (contém
).
Considere o escalar . Pelo axioma da multiplicação por escalar e usando a distributividade em relação à adição de escalares, temos
Considere o escalar
Seja
. A equação acima diz
. Subtraindo
(isto é, somando o inverso aditivo de
) de ambos os lados obtemos
. Logo
Portanto
não é vazio.
Passo 4
Fechamento por soma.
Tome . Por definição do conjunto, existem escalares
tais que
e
. Usando a distributividade do produto escalar sobre a adição de escalares, obtemos
Tome
Como
, o vetor
pertence a
. Assim
. Logo
é fechado por soma.
Passo 5
Fechamento por multiplicação escalar.
Tome e
. Pelo mesmo raciocínio há
com
. Usando associatividade da multiplicação de escalares com a multiplicação escalar no espaço vetorial,
Tome
Como
, segue que
. Portanto
é fechado por multiplicação escalar.
Passo 6
Conclusão.
Mostramos que contém
, é fechado por soma e por multiplicação escalar. Pelas condições do teste para subespaço, isso implica que
é um subespaço de
.
Mostramos que
Observação adicional (didática e intuitiva):
é justamente a reta (ou linha) através da origem de
gerada por
; em linguagem padrão de álgebra linear,
. No caso especial
, tem-se
, que também é um subespaço (a reta degenerada).