(SILVESTRE, 1982, pg. 29) Projete o sistema adutor de uma pequena cidade cujos dados são:
População =15.000 habitantes, no fim do alcance do projeto.
Consumo per capita =200 \mathrm{~L} / \mathrm{hab} . / \mathrm{dia}, no dia de maior demanda. Comprimento da adutora =5.300 \mathrm{~m}(\mathrm{C}=130).
NA do manancial =980,65 \mathrm{~m}. NA
do reservatório =940,36 \mathrm{~m}.

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado nos deu e o que se pede.
Dados fornecidos:
  • População no fim do alcance do projeto: 15{.}000 habitantes.
  • Consumo per capita no dia de maior demanda: 200\\ \mathrm{L}/\mathrm{hab}\cdot\mathrm{dia}.
  • Comprimento da adutora: L=5{.}300\\ \mathrm{m}.
  • Coeficiente de Hazen–Williams da tubulação: C=130.
  • Nível d’água (NA) do manancial: 980{,}65\\ \mathrm{m}.
  • Nível d’água (NA) do reservatório: 940{,}36\\ \mathrm{m}.
O que o problema pede (projeto do sistema adutor):
  • Determinar a vazão de projeto (Q).
  • Determinar o diâmetro da adutora (escolher um diâmetro comercial) de modo que a perda de carga por atrito na adutora seja compatível com a diferença de cota disponível entre manancial e reservatório.
  • Calcular velocidade e perda de carga total na adutora para o diâmetro adotado e verificar se é adequado.

Passo 2

Calcular a vazão de projeto Q a partir do consumo per capita no dia de maior demanda.
Cálculo do consumo total diário:
\text{consumo diário} = 15{.}000 \times 200\\ \mathrm{L/dia} = 3{.}000{.}000\\ \mathrm{L/dia}.á
Converter para \mathrm{m^3/s}. Lembre que 1\\ \mathrm{m^3}=1000\\ \mathrm{L} e 1\\ \text{dia}=86{.}400\\ \mathrm{s}.
Q = \frac{3{.}000{.}000\\ \mathrm{L/dia}}{1000}\cdot\frac{1}{86{.}400\\ \mathrm{s/dia}} = \frac{3{.}000\\ \mathrm{m^3}}{86{.}400\\ \mathrm{s}}
Q = 0{,}0347222\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 3

Calcular a cota (diferença de nível) disponível para vencer as perdas de carga (cota útil).
Diferença de cota entre manancial e reservatório:
H_a = 980{,}65\\ \mathrm{m} - 940{,}36\\ \mathrm{m} = 40{,}29\\ \mathrm{m}.
Esse é o “head” disponível para vencer as perdas por atrito (aos efeitos do exercício vamos igualar a perda de carga total disponí‑ vel h_f a essa diferença; em projeto real convém reservar folga para perdas locais, segurança, variações etc.).

Passo 4

Apresentar a fórmula que vamos usar (Hazen–Williams) e explicar cada termo.
A fórmula de Hazen–Williams (forma prática em unidades SI) para perda de carga total h_f em linhas é:
h_f = 10{,}67\;\frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,D^{4{,}87}}
onde:
  • h_f é a perda de carga total na tubulação, em metros ( \mathrm{m});
  • L é o comprimento da tubulação, em metros ( \mathrm{m});
  • Q é a vazão de projeto, em metros cúbicos por segundo ( \mathrm{m^3/s});
  • C é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional), que depende do material e estado da tubulação (aqui foi dado C=130);
  • D é o diâmetro interno da tubulação, em metros ( \mathrm{m});
  • Os expoentes 1{,}852 e 4{,}87 são empíricos (próprios da fórmula).
Comentário didático curto: a fórmula relaciona fortemente perda de carga com o diâmetro (potência aproximadamente D^{-4{,}87}) — pequenas mudanças no diâmetro alteram bastante a perda de carga.

Passo 5

Isolar o diâmetro D na fórmula (algebra para obter D em função de h_f).
Partimos de
h_f = 10{,}67\;\frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,D^{4{,}87}}.
Rearranjando para D^{4{,}87}:
D^{4{,}87} = 10{,}67\;\frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,h_f}.
Como vamos usar a cota disponível como perda admitida, tomamos h_f = H_a = 40{,}29\\ \mathrm{m}.
Finalmente:
D = \left(10{,}67\;\frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,H_a}\right)^{\!1/4{,}87}.

Passo 6

Calcular numericamente os termos intermediários necessários (estes passos mostram como fazer as potências e multiplicações de forma reprodutível).
Dados numéricos que vamos usar:
L = 5{.}300\\ \mathrm{m},\qquad Q = 0{,}0347222\\ \mathrm{m^3/s},\qquad C=130,\qquad H_a=40{,}29\\ \mathrm{m}.
  1. Calcular Q^{1{,}852}.
    Para isso pode-se usar logaritmos ou uma calculadora científica; passo aqui os valores aproximados:
Q^{1{,}852} \approx 0{,}0347222^{1{,}852} \approx 0{,}001977.
  1. Calcular C^{1{,}852}:
C^{1{,}852} = 130^{1{,}852} \approx 8{.}214\times10^{3}.
  1. Calcular o numerador da fração:
10{,}67\;L\;Q^{1{,}852} \approx 10{,}67\times5{.}300\times0{,}001977 \approx 111{,}95.
  1. Calcular o denominador da fração:
C^{1{,}852}\,H_a \approx 8{.}214\times10^{3}\times40{,}29 \approx 3{,}31\times10^{5}.
  1. Calcular a razão e então D^{4{,}87}:
D^{4{,}87} \approx \frac{111{,}95}{331{,}000} \approx 3{,}37\times10^{-4}.
  1. Finalmente elevar à potência 1/4{,}87:
D \approx \left(3{,}37\times10^{-4}\right)^{1/4{,}87} \approx 0{,}194\\ \mathrm{m}.
Observação prática: em provas frequentemente se obtém um diâmetro calculado não padronizado; então escolhe‑se o diâmetro comercial imediatamente superior ou o mais próximo que satisfaça critérios de velocidade/perda. Aqui o diâmetro calculado é aproximadamente 0{,}194\\ \mathrm{m} (194 mm).

Passo 7

Escolher diâmetro comercial e verificar velocidade e perda de carga correspondente.
Escolha prática: adotar D=0{,}20\\ \mathrm{m} (tubulação DN200), que é o diâmetro comercial imediatamente acima do valor calculado.
  1. Área da seção interna:
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0{,}20)^2}{4} = \pi\cdot0{,}01 \approx 0{,}03142\\ \mathrm{m^2}.
  1. Velocidade média:
V=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}0347222}{0{,}031416}\approx 1{,}11\\ \mathrm{m/s}.
Comentário: velocidades típicas recomendadas em adutoras municipais ficam entre cerca de 0{,}6 e 2{,}0\\ \mathrm{m/s} — portanto 1{,}11\\ \mathrm{m/s} é muito adequado (evita assentamento e não é excessivo para erosão).
  1. Calcular perda de carga total real com D=0{,}20\\ \mathrm{m} (usar novamente Hazen–Williams):
    Primeiro calcular D^{4{,}87}:
D^{4{,}87} = (0{,}20)^{4{,}87} \approx 3{,}97\times10^{-4}.
Em seguida:
h_f = 10{,}67\;\frac{5{.}300\,(0{,}0347222)^{1{,}852}}{130^{1{,}852}\,(0{,}20)^{4{,}87}} \approx 34{,}4\\ \mathrm{m}.
Portanto, com D=0{,}20\\ \mathrm{m} a perda de carga total estimada é aproximadamente 34{,}4\\ \mathrm{m}, menor que a cota disponível H_a=40{,}29\\ \mathrm{m}. Isso deixa uma folga de cerca de 5{,}9\\ \mathrm{m} para perdas locais, variações, sedimentos, etc.
  1. Perda de carga por quilômetro (antever comportamento):
\frac{h_f}{L} \approx \frac{34{,}4}{5{.}3}\approx 6{,}49\\ \mathrm{m/km}.

Passo 8

Checagens finais de projeto e justificativas.
  • Vazão de projeto: a partir do consumo de 200\\ \mathrm{L/hab/dia} para 15{.}000 hab., obtivemos Q=0{,}0347222\\ \mathrm{m^3/s}.
  • O diâmetro calculado pela fórmula de Hazen–Williams, assumindo que toda a diferença de cota está disponível para vencer perdas, é D\approx0{,}194\\ \mathrm{m}. Adotando o diâmetro comercial imediatamente superior temos D=0{,}20\\ \mathrm{m}.
  • Com D=0{,}20\\ \mathrm{m} a velocidade média é V\approx1{,}11\\ \mathrm{m/s} (aceitável) e a perda de carga total é h_f\approx34{,}4\\ \mathrm{m}, que é menor que os 40{,}29\\ \mathrm{m} disponíveis — portanto o trecho pode operar em gravidade sem necessidade de recalque (bombeamento), com folga para perdas locais.
  • Observação prática: em projeto real deve-se considerar perdas locais (tomada, boca, válvulas, curvas), variações de consumo, margem de segurança, eventual perda de carga por tubulação incrustada/velha reduzindo C, e escolher material/paredes de acordo com pressão admissível. Aqui, para efeito do exercício, essas perdas locais foram consideradas implicitamente na folga disponível.

Resposta

Q=0{,}0347222\\ \mathrm{m^3/s}
Diâmetro adotado: D=0{,}20\\ \mathrm{m} (DN200)
Velocidade média: V\approx1{,}11\\ \mathrm{m/s}
Perda de carga total na adutora (com D=0{,}20\\ \mathrm{m}): h_f\approx34{,}4\\ \mathrm{m}
Folga frente à cota disponível: 40{,}29-34{,}4\approx5{,}9\\ \mathrm{m}

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