Simplifique as expressões booleanas utilizando a Álgebra de Boole.
\mathrm{S}=\mathrm{AB} \overline{\mathrm{C}} \mathrm{D}+\overline{\mathrm{A}} \overline{\mathrm{B}} \mathrm{C} \overline{\mathrm{D}}+\mathrm{AB} \overline{\mathrm{C}} \overline{\mathrm{D}}+\overline{\mathrm{A}} \mathrm{BC} \overline{\mathrm{D}}+\mathrm{ABC} \overline{\mathrm{D}}+\mathrm{A} \overline{\mathrm{B}} \mathrm{C} \overline{\mathrm{D}}+\mathrm{ABCD}

Passo 1

O que o enunciado pede: simplificar a expressão booleana dada, isto é reduzir a soma de produtos para uma forma mais curta e equivalente.
Informações fornecidas (peguei diretamente do enunciado):
\mathrm{S}=\mathrm{AB}\,\overline{\mathrm{C}}\,\mathrm{D}+\overline{\mathrm{A}}\,\overline{\mathrm{B}}\,\mathrm{C}\,\overline{\mathrm{D}}+\mathrm{AB}\,\overline{\mathrm{C}}\,\overline{\mathrm{D}}+\overline{\mathrm{A}}\,\mathrm{B}\,\mathrm{C}\,\overline{\mathrm{D}}+\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\,\overline{\mathrm{D}}+\mathrm{A}\,\overline{\mathrm{B}}\,\mathrm{C}\,\overline{\mathrm{D}}+\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}.
Objetivo: achar uma expressão equivalente a \mathrm{S} com menos termos/literais.

Passo 2

Observação de pares óbvios: se dois termos diferem apenas por uma variável e aparecem com essa variável em forma complementada e não complementada (por exemplo X D e X \overline{D}), podemos usar a identidade da complementaridade D+\overline{D}=1.
Aplicando isso aos dois pares presentes:
\mathrm{AB}\,\overline{\mathrm{C}}\,\mathrm{D}+\mathrm{AB}\,\overline{\mathrm{C}}\,\overline{\mathrm{D}} =\mathrm{AB}\,\overline{\mathrm{C}}(\mathrm{D}+\overline{\mathrm{D}}) =\mathrm{AB}\,\overline{\mathrm{C}}.
Aqui usei a distributiva e a identidade \mathrm{D}+\overline{\mathrm{D}}=1.

Passo 3

Fazer o mesmo para o outro par que difere apenas em D:
\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\,\overline{\mathrm{D}}+\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D} =\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}(\overline{\mathrm{D}}+\mathrm{D}) =\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}.
De novo distribuí \mathrm{AB}C e usei \overline{\mathrm{D}}+\mathrm{D}=1.

Passo 4

Substituindo as simplificações das Passos 2 e 3 na expressão original, obtemos:
\mathrm{S}=\mathrm{AB}\,\overline{\mathrm{C}}+\overline{\mathrm{A}}\,\overline{\mathrm{B}}\,\mathrm{C}\,\overline{\mathrm{D}}+\overline{\mathrm{A}}\,\mathrm{B}\,\mathrm{C}\,\overline{\mathrm{D}}+\mathrm{A}\,\overline{\mathrm{B}}\,\mathrm{C}\,\overline{\mathrm{D}}+\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}.

Passo 5

Agrupar os dois primeiros termos que têm fator comum \mathrm{AB}:
\mathrm{AB}\,\overline{\mathrm{C}}+\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C} =\mathrm{AB}(\overline{\mathrm{C}}+\mathrm{C}) =\mathrm{AB}\cdot 1 =\mathrm{AB}.
Aqui usei a distributiva e a identidade \overline{\mathrm{C}}+\mathrm{C}=1. Assim a expressão vira:
\mathrm{S}=\mathrm{AB}+\overline{\mathrm{A}}\,\overline{\mathrm{B}}\,\mathrm{C}\,\overline{\mathrm{D}}+\overline{\mathrm{A}}\,\mathrm{B}\,\mathrm{C}\,\overline{\mathrm{D}}+\mathrm{A}\,\overline{\mathrm{B}}\,\mathrm{C}\,\overline{\mathrm{D}}.

Passo 6

Fator comum nos três últimos termos: todos têm \mathrm{C}\,\overline{\mathrm{D}}. Fatoremos:
\overline{\mathrm{A}}\,\overline{\mathrm{B}}\,\mathrm{C}\,\overline{\mathrm{D}}+\overline{\mathrm{A}}\,\mathrm{B}\,\mathrm{C}\,\overline{\mathrm{D}}+\mathrm{A}\,\overline{\mathrm{B}}\,\mathrm{C}\,\overline{\mathrm{D}} =\mathrm{C}\,\overline{\mathrm{D}}\big(\overline{\mathrm{A}}\,\overline{\mathrm{B}}+\overline{\mathrm{A}}\,\mathrm{B}+\mathrm{A}\,\overline{\mathrm{B}}\big).

Passo 7

Simplificar a soma dentro do parêntese passo a passo.
Primeiro combine dois termos com \overline{\mathrm{A}} em comum:
\overline{\mathrm{A}}\,\overline{\mathrm{B}}+\overline{\mathrm{A}}\,\mathrm{B}=\overline{\mathrm{A}}(\overline{\mathrm{B}}+\mathrm{B})=\overline{\mathrm{A}}\cdot 1=\overline{\mathrm{A}}.
Então o parêntese fica \overline{\mathrm{A}}+\mathrm{A}\,\overline{\mathrm{B}}.
Agora usar a identidade útil (uma forma da lei de absorção/consenso):
para quaisquer X,Y vale \;X+\overline{X}Y = X+Y.
Prova rápida dessa identidade: X+\overline{X}Y = (X+\overline{X})(X+Y)=1\cdot(X+Y)=X+Y.
Aplicando com X=\overline{\mathrm{A}} e Y=\overline{\mathrm{B}},
\overline{\mathrm{A}}+\mathrm{A}\,\overline{\mathrm{B}}=\overline{\mathrm{A}}+\overline{\mathrm{B}}.
Portanto a soma dentro do parêntese simplifica para \overline{\mathrm{A}}+\overline{\mathrm{B}}.

Passo 8

Substituindo no fatorado:
\mathrm{C}\,\overline{\mathrm{D}}\big(\overline{\mathrm{A}}+\overline{\mathrm{B}}\big).
Então a expressão total é
\mathrm{S}=\mathrm{AB}+\mathrm{C}\,\overline{\mathrm{D}}\big(\overline{\mathrm{A}}+\overline{\mathrm{B}}\big).

Passo 9

Continuar a simplificação usando novamente a identidade X+\overline{X}Y = X+Y.
Note que \overline{\mathrm{A}}+\overline{\mathrm{B}}=\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}} (pela De Morgan), logo
\mathrm{C}\,\overline{\mathrm{D}}\big(\overline{\mathrm{A}}+\overline{\mathrm{B}}\big) =\mathrm{C}\,\overline{\mathrm{D}}\,\overline{\mathrm{AB}}.
Agora tome X=\mathrm{AB} e Y=\mathrm{C}\,\overline{\mathrm{D}} na identidade X+\overline{X}Y = X+Y. Assim
\mathrm{AB}+\overline{\mathrm{AB}}\,\mathrm{C}\,\overline{\mathrm{D}}=\mathrm{AB}+\mathrm{C}\,\overline{\mathrm{D}}.

Passo 10

Portanto a forma mais simples e final é
\mathrm{S}=\mathrm{AB}+\mathrm{C}\,\overline{\mathrm{D}}.

Resposta

\mathrm{AB}+\mathrm{C}\,\overline{\mathrm{D}}

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