Simplifique as expressões booleanas utilizando a Álgebra de Boole. \mathrm{S}=\mathrm{ABC}+\mathrm{A} \overline{\mathrm{B}} \mathrm{C}+\overline{\mathrm{A}}
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão booleana dada. As informações fornecidas são:
A expressão é S = ABC + A\overline{B}C + \overline{A}.
As variáveis A, B, C são variáveis booleanas (valores 0 ou 1).
Notação usada:
+ significa OR (ou lógico).
Justaposição (por exemplo AB) significa AND (e lógico).
\overline{X} significa NOT (negação) da variável X.
O pedido: reduzir S a uma forma mais simples (idealmente com menos termos/literais) usando identidades da Álgebra de Boole.
Passo 2
Agrupar os dois primeiros termos que têm padrão comum e fatorar:
ABC + A\overline{B}C = AC(B + \overline{B}).
Aqui usei a propriedade distributiva da multiplicação sobre a soma na Álgebra de Boole, que tem a mesma forma que na álgebra usual: se temos XY + XZ, podemos escrever X(Y+Z). No nosso caso X=AC, Y=B, Z=\overline{B}.
Passo 3
Aplicar a lei do complemento B + \overline{B} = 1:
AC(B + \overline{B}) = AC\cdot 1 = AC.
A lei B+\overline{B}=1 diz que uma variável OU sua negação é sempre verdadeiro (1). Qualquer coisa AND 1 permanece igual a si mesma.
Assim a expressão passa a ser
S = AC + \overline{A}.
Passo 4
Agora simplificar AC + \overline{A}. Use a identidade
X + X'Y = X + Y,
válida para quaisquer variáveis booleanas X e Y. Uma maneira de ver/provar essa identidade é aplicar a distributiva inversa:
X + X'Y = (X + X')(X + Y) = 1\cdot (X+Y) = X+Y,
pois X+X'=1.
No nosso caso escolha X=\overline{A} e Y=C. Então X' = A e a identidade dá:
\overline{A} + A C = \overline{A} + C.
Portanto
S = \overline{A} + C.
Passo 5
Interpretação final rápida (para fixar): a expressão original tinha dois termos com A e C que se combinaram para AC, e depois o termo \overline{A} “absorveu” parte de AC levando à forma ainda mais simples \overline{A}+C. Isso significa que S vale 1 sempre que \overline{A}=1 (ou seja A=0) ou quando C=1, independentemente de B.