Simplifique as expressões booleanas utilizando a Álgebra de Boole.
\mathrm{S}=\mathrm{AC}+\overline{\mathrm{B}} \mathrm{C}+\mathrm{AB} \overline{\mathrm{C}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão booleana abaixo:
S = AC + \overline{B}C + AB\overline{C}.
Informações dadas:
  • A expressão é a soma lógica (OR, denotada por +) de três produtos lógicos (AND).
  • As variáveis envolvidas são A, B e C.
  • O objetivo é reduzir a expressão para uma forma mais simples equivalente.

Passo 2

Vou listar as identidades de Álgebra de Boole que vou usar e explicá‑las de forma bem direta (com exemplos simples). Cada identidade vale para quaisquer variáveis booleanas X,Y,Z.
  1. Elemento neutro e complemento:
X + \overline{X} = 1,\qquad X\cdot \overline{X} = 0.
Significa que uma variável OR com seu complemento é sempre verdadeiro; e AND com seu complemento é falso.
  1. Distributiva (duas formas):
X(Y+Z)=XY+XZ,\qquad X+YZ=(X+Y)(X+Z).
Serve para fatorar ou expandir expressões.
  1. Absorção:
X+XY = X,\qquad X(X+Y)=X.
Se X já está presente, adicionar XY não muda nada.
  1. Complementação e identidade:
X1=X,\qquad X0=0.
Multiplicar por 1 não altera; por 0 anula.
  1. Teorema do consenso (útil para ver redundâncias):
XY + \overline{X}Z + YZ = XY + \overline{X}Z.
Permite eliminar o termo YZ quando os outros dois estão presentes.
Exemplo rápido para fixar: se tiver AB + A\overline{B}C, pela absorção AB + A\overline{B}C = AB, porque AB já cobre casos onde A e B são 1.

Passo 3

Primeira manipulação: expandir o termo AC pelo identicamente verdadeiro B+\overline{B}=1. Isso costuma revelar termos que se combinam com outros.
AC = AC(B+\overline{B}) = ACB + AC\overline{B}.
Portanto a expressão original fica (substituindo AC por essa expansão):
S = ACB + AC\overline{B} + \overline{B}C + AB\overline{C}.

Passo 4

Agrupo termos que têm fatores em comum e aplico absorção/distributiva:
Observe os dois termos AC\overline{B} e \overline{B}C. Ambos têm \overline{B}C em comum (note que AC\overline{B} = A\cdot \overline{B}\cdot C e \overline{B}C = 1\cdot \overline{B}\cdot C). Uso a propriedade de fatoração:
AC\overline{B} + \overline{B}C = \overline{B}C(A + 1).
Pelo item 1, A+1 = 1. Logo
AC\overline{B} + \overline{B}C = \overline{B}C.
Substituindo na expressão:
S = ACB + \overline{B}C + AB\overline{C}.

Passo 5

Agora observe os termos ACB e AB\overline{C}. Ambos têm AB em comum:
ACB + AB\overline{C} = AB(C + \overline{C}).
Pelo complemento, C + \overline{C} = 1. Então
ACB + AB\overline{C} = AB.
Substituindo isso em S obtemos:
S = AB + \overline{B}C.

Passo 6

Verificação de irredundância: a forma S = AB + \overline{B}C é já bastante reduzida. Podemos interpretar logicamente: quando B=1 vale AB (ou seja, precisa de A=1), quando B=0 vale C (pois \overline{B}=1 então \overline{B}C=C); essa é a forma canônica do multiplexador S = B\cdot A + \overline{B}\cdot C. Não há termo redundante aqui que permita reduzir mais sem alterar a função (pode-se checar que não existe absorção extra aplicável).

Resposta

S = AB + \overline{B}C

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