Simplifique as expressões booleanas utilizando a Álgebra de Boole. \mathrm{S}=(\mathrm{A}+\mathrm{B})(\overline{\mathrm{B}}+\overline{\mathrm{A}})
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão booleana. A expressão dada é:
S = (A + B)(\overline{B} + \overline{A})
Informações fornecidas:
As variáveis A e B são variáveis booleanas (valores 0 ou 1).
O objetivo é reduzir/simplificar a expressão usando Álgebra de Boole até uma forma mais simples e equivalente.
Passo 2
Breve revisão das operações e leis que vou usar (explicação passo a passo e exemplos pequenos):
Operadores:
+ é OR (soma lógica): 1+0=1, 0+0=0, 1+1=1.
Justaposição (por exemplo AB) é AND (produto lógico): 1\cdot1=1, caso contrário 0.
\overline{X} é NOT (complemento): se X=1 então \overline{X}=0, e vice-versa.
Leis importantes (cada uma com uma frase curta):
Lei do complemento: X+\overline{X}=1 e X\overline{X}=0. Ex.: A+\overline{A}=1.
Lei de De Morgan: \overline{X+Y}=\overline{X}\,\overline{Y} e \overline{XY}=\overline{X}+\overline{Y}.
Distributiva: X(Y+Z)=XY+XZ. É a que usaremos para expandir produtos.
Identidade/nulo: X+0=X, X1=X, X0=0, X+1=1.
Absorção: X+XY=X e X(X+Y)=X.
Essas leis permitem transformar e reduzir expressões booleanas passo a passo.
Passo 3
Aplicando a distributiva para expandir o produto (A+B)(\overline{B}+\overline{A}). Multiplica-se cada termo do primeiro parêntese por cada termo do segundo:
S = A\overline{B} + A\overline{A} + B\overline{B} + B\overline{A}
Explicando: peguei A e multipliquei por \overline{B} e por \overline{A}; depois peguei B e multipliquei por \overline{B} e por \overline{A}.
Passo 4
Aplicando a lei do complemento para eliminar termos que viram 0:
A\overline{A}=0, porque uma variável E seu complemento nunca são simultaneamente 1.
B\overline{B}=0 pelo mesmo motivo.
Substituindo na expressão:
S = A\overline{B} + 0 + 0 + B\overline{A}
e simplificando (somar 0 não altera):
S = A\overline{B} + B\overline{A}
Passo 5
Interpretação e identificação da forma final:
A expressão \;A\overline{B} + \overline{A}B\; é exatamente a forma canônica da operação “OU exclusivo” (XOR), que vale 1 quando A e B são diferentes e 0 quando são iguais.
Em notação comum, isso também pode ser escrito como A \oplus B. Mas a forma expandida \;A\overline{B} + \overline{A}B\; é a simplificação em termos básicos de AND, OR e NOT.
Passo 6
Verificação rápida por tabela-verdade (mostra que a expressão original e a simplificada coincidem):
Para (A,B)=(0,0): A\overline{B}+\overline{A}B = 0\cdot1 + 1\cdot0 = 0.
Para (A,B)=(0,1): 0\cdot0 + 1\cdot1 = 1.
Para (A,B)=(1,0): 1\cdot1 + 0\cdot0 = 1.
Para (A,B)=(1,1): 1\cdot0 + 0\cdot1 = 0.
Esses valores coincidem com o comportamento de (A+B)(\overline{B}+\overline{A}), confirmando a equivalência.