Simplifique as expressões booleanas utilizando a Álgebra de Boole.
\mathrm{S}=\mathrm{BD}+\mathrm{B}(\mathrm{D}+\mathrm{E})+\overline{\mathrm{D}}(\mathrm{D}+\mathrm{F})

Passo 1

O enunciado dá a expressão booleana a ser simplificada:
S = BD + B(D+E) + \overline{D}(D+F).
O objetivo é reduzir essa expressão, aplicando identidades da Álgebra de Boole, até uma forma mais simples (menos termos ou fatores).

Passo 2

Antes de começar, vamos revisar as leis da Álgebra de Boole que vamos usar (cada fórmula é explicada em palavras):
\begin{aligned} &\text{1. Idempotência: } &X + X &= X. &\quad&\text{(somar uma mesma coisa não muda)}\\\ &\text{2. Complemento: } &X\overline{X} &= 0. &\quad&\text{(uma variável e seu complemento = 0)}\\\ &\text{3. Elemento neutro da soma: } &X + 0 &= X.\\\ &\text{4. Distributiva: } &X(Y+Z) &= XY + XZ. &\quad&\text{(expandir produto sobre soma)}\\\ &\text{5. Fatoração (inversa da distributiva): } &XY + XZ &= X(Y+Z).\\\ &\text{6. Anulação por zero: } &0X &= 0. \end{aligned}êãáçãçã
Vou aplicar essas leis passo a passo, explicando cada aplicação.

Passo 3

Trabalhando o terceiro termo \overline{D}(D+F). Aplicamos a distributiva:
\overline{D}(D+F)=\overline{D}D+\overline{D}F.
Agora usamos a lei do complemento \overline{D}D=0, portanto
\overline{D}(D+F)=0+\overline{D}F=\overline{D}F.
Comentário: isso diz que \overline{D} em AND com D zera, restando apenas o termo com F.

Passo 4

Substituímos o resultado no S. Assim:
S = BD + B(D+E) + \overline{D}F.
Agora expandimos B(D+E) usando distributiva:
B(D+E)=BD+BE.
Substituindo:
S = BD + (BD+BE) + \overline{D}F.

Passo 5

Aplicamos idempotência e simplificações em soma:
  • Primeiro, somando BD+BD aplica-se X+X=X, então BD+BD = BD.
    Logo
S = BD + BE + \overline{D}F.
  • Agora podemos fatorar B dos dois primeiros termos (inversa da distributiva):
BD + BE = B(D+E).
Portanto uma forma compacta é
S = B(D+E) + \overline{D}F.

Passo 6

Verificação e comentário final: a expressão já está reduzida para dois termos soma de produtos (um produto envolvendo B e outro envolvendo \overline{D}). Tentativas adicionais de remoção de termos (por exemplo aplicação do teorema do consenso) não eliminam B(D+E) nem \overline{D}F sem alterar a função booleana. Assim a forma
S = B(D+E) + \overline{D}F
é uma simplificação adequada e compacta da expressão original.

Resposta

S = B(D+E) + \overline{D}F

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