Simplifique as expressões booleanas utilizando a Álgebra de Boole.
\mathrm{S}=\overline{\mathrm{A}} \mathrm{C}(\overline{\overline{\mathrm{A}} \mathrm{B} \mathrm{D}})+\overline{\mathrm{A}} \mathrm{B} \overline{\mathrm{C}} \overline{\mathrm{D}}+\mathrm{A} \overline{\mathrm{B}} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão booleana abaixo usando Álgebra de Boole:
\mathrm{S}=\overline{\mathrm{A}} \mathrm{C}\big(\overline{\overline{\mathrm{A}} \mathrm{B} \mathrm{D}}\big)+\overline{\mathrm{A}} \mathrm{B} \overline{\mathrm{C}} \overline{\mathrm{D}}+\mathrm{A} \overline{\mathrm{B}} \mathrm{C}.
Informações dadas:
  • A expressão tem quatro variáveis: A, B, C e D.
  • Há negações, produto (AND) implícito por justaposição, soma (OR) implícita pelos sinais + e uma negação sobre um produto interno \overline{\overline{A} B D}.
  • O objetivo é reduzir a expressão a uma forma mais simples (menos termos ou literais) aplicando propriedades da Álgebra de Boole (De Morgan, distributiva, complementar, absorção, etc.).

Passo 2

Primeiro passo algébrico: aplicar a Lei de De Morgan e dupla negação dentro do parêntese \overline{\overline{A} B D}.
Regra usada (De Morgan + dupla negação):
\overline{XY Z}=\overline{X}+\overline{Y}+\overline{Z},\qquad \overline{\overline{X}}=X.
Aplicando a \overline{\overline{A} B D} obtemos
\overline{\overline{A} B D}=\overline{\overline{A}}+\overline{B}+\overline{D}=A+\overline{B}+\overline{D}.
Logo a expressão inicial vira
\mathrm{S}=\overline{A}C\big(A+\overline{B}+\overline{D}\big)+\overline{A}B\overline{C}\,\overline{D}+A\overline{B}C.

Passo 3

Expandir o produto \overline{A}C\big(A+\overline{B}+\overline{D}\big) usando distributiva:
\overline{A}C\big(A+\overline{B}+\overline{D}\big)=\overline{A}CA+\overline{A}C\overline{B}+\overline{A}C\overline{D}.
Usar a propriedade complementar \overline{A}A=0 para eliminar o primeiro termo:
\overline{A}CA=0.
Portanto os três primeiros termos reduzidos ficam
\overline{A}C\overline{B}+\overline{A}C\overline{D}.
Assim
\mathrm{S}=\overline{A}C\overline{B}+\overline{A}C\overline{D}+\overline{A}B\overline{C}\,\overline{D}+A\overline{B}C.

Passo 4

Agora observe os termos \overline{A}C\overline{B} e A\overline{B}C. Ambos têm C\overline{B} em comum, só que com A e \overline{A}. Use a propriedade distributiva inversa (ou soma de complementares):
Regra usada:
X\overline{B}+ \overline{X}\overline{B} = \overline{B}(X+\overline{X})=\overline{B}\cdot 1=\overline{B}.
Tomando X=A e fatorando C\overline{B}:
\overline{A}C\overline{B}+A\overline{B}C = C\overline{B}\big(\overline{A}+A\big)=C\overline{B}.
Portanto podemos agrupar esses dois termos em um único termo:
\mathrm{S}=C\overline{B}+\overline{A}C\overline{D}+\overline{A}B\overline{C}\,\overline{D}.

Passo 5

Agora trabalhe os dois termos que sobram com \overline{A} e \overline{D}: \overline{A}C\overline{D} e \overline{A}B\overline{C}\,\overline{D}. Ambos têm o fator comum \overline{A}\overline{D}. Fatore:
\overline{A}C\overline{D}+\overline{A}B\overline{C}\,\overline{D}=\overline{A}\overline{D}\big(C+B\overline{C}\big).

Passo 6

Simplifique a soma C+B\overline{C}. Use a identidade
X+Y\overline{X}=X+Y,
ou verifique por identidade algébrica:
C+B\overline{C}=(C+B)(C+\overline{C})=(C+B)\cdot 1=C+B.
Assim
\overline{A}\overline{D}\big(C+B\overline{C}\big)=\overline{A}\overline{D}(C+B).

Passo 7

Substituindo de volta em \mathrm{S} obtemos uma expressão mais compacta:
\mathrm{S}=C\overline{B}+\overline{A}\overline{D}\big(B+C\big).
Podemos também escrever essa forma distribuída (opcional):
\mathrm{S}=C\overline{B}+\overline{A}\overline{D}B+\overline{A}\overline{D}C.

Passo 8

Verificação rápida de consistência (intuição): a forma C\overline{B}+\overline{A}\overline{D}(B+C) cobre os casos com C=1,B=0 (pelo primeiro termo) e os casos onde A=0,D=0 combinando com B ou C (pelo segundo fator), correspondendo às combinações originais. As transformações usadas foram leis válidas da Álgebra de Boole (De Morgan, complementar, distributiva, fatoração e uma simplificação reconhecida C+B\overline{C}=B+C), então a expressão está correta e simplificada.

Resposta

\mathrm{S}=C\overline{B}+\overline{A}\,\overline{D}\,(B+C)

Exercícios relacionados