Simplifique as expressões booleanas utilizando a Álgebra de Boole.
S=A \bar{B} \bar{C}+A \bar{B} C+A B C

Passo 1

O enunciado dá a expressão booleana abaixo e pede que ela seja simplificada:
S = A\bar{B}\bar{C} + A\bar{B}C + ABC.
Informações relevantes fornecidas:
  • As variáveis A,B,C são variáveis booleanas (valores em \{0,1\}).
  • A tarefa é reduzir a expressão, isto é, escrever S numa forma equivalente mais simples (menos termos/literais).

Passo 2

Vamos lembrar algumas identidades básicas da Álgebra de Boole que usarei (com explicação curta e exemplos intuitivos):
  • Complementaridade: \bar{X}+X = 1. Ex.: ou C ou não- C é sempre verdadeiro.
  • Identidade do zero/um: X\cdot 1 = X e X+0 = X.
  • Distributiva: X(Y+Z)=XY+XZ e também X+YZ=(X+Y)(X+Z).
  • Absorção/consenso (caso útil): X + \bar{X}Y = X + Y (isto é consequência das anteriores).
    Vou aplicar essas identidades passo a passo, explicando cada aplicação.

Passo 3

Primeiro fatoramos A em comum, já que todos os termos têm A:
S = A\big(\bar{B}\bar{C} + \bar{B}C + BC\big).
Explicação: pela distributiva inversa, se todos os termos têm A multiplicando, podemos escrevê-los como A vezes a soma dos demais fatores.

Passo 4

Dentro do parênteses observamos que os dois primeiros termos têm \bar{B} em comum:
\bar{B}\bar{C} + \bar{B}C = \bar{B}(\bar{C}+C).
Agora aplicamos complementaridade \bar{C}+C=1, logo
\bar{B}(\bar{C}+C)=\bar{B}\cdot 1 = \bar{B}.
Portanto os três termos do parênteses reduzem para
\bar{B} + BC.
Explicação: combinar \bar{B}\bar{C} e \bar{B}C é como dizer “não- B e (não- C ou C)”, que equivale a “não- B”.

Passo 5

Temos agora
S = A\big(\bar{B} + BC\big).
Vamos simplificar \bar{B} + BC. Usamos a identidade distributiva no sentido de soma para fatorizar:
\bar{B} + BC = (\bar{B} + B)(\bar{B} + C).
Aqui usei X+YZ=(X+Y)(X+Z) com X=\bar{B}, Y=B, Z=C. Agora \bar{B}+B=1 (complementaridade), então
(\bar{B} + B)(\bar{B} + C) = 1\cdot(\bar{B}+C)=\bar{B}+C.
Também poderia-se aplicar a forma de absorção: \bar{B}+BC=\bar{B}+C. Ambos conduzem ao mesmo resultado.

Passo 6

Substituindo de volta:
S = A(\bar{B}+C).
Se preferir expandir de volta em soma de produtos, isso é equivalente a
S = A\bar{B} + AC.
Comentário final: essa é a forma simplificada — menos termos/literais do que a original e fácil de implementar em portas lógicas.

Resposta

A(\bar{B}+C)

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