Simplifique as expressões booleanas utilizando a Álgebra de Boole.
Passo 1
O enunciado dá a expressão booleana abaixo e pede que ela seja simplificada:
Informações relevantes fornecidas:
- As variáveis
são variáveis booleanas (valores em ). - A tarefa é reduzir a expressão, isto é, escrever
numa forma equivalente mais simples (menos termos/literais).
Passo 2
Vamos lembrar algumas identidades básicas da Álgebra de Boole que usarei (com explicação curta e exemplos intuitivos):
- Complementaridade:
. Ex.: ou ou não- é sempre verdadeiro. - Identidade do zero/um:
e . - Distributiva:
e também . - Absorção/consenso (caso útil):
(isto é consequência das anteriores).
Vou aplicar essas identidades passo a passo, explicando cada aplicação.
Passo 3
Primeiro fatoramos
em comum, já que todos os termos têm
:
Explicação: pela distributiva inversa, se todos os termos têm
multiplicando, podemos escrevê-los como
vezes a soma dos demais fatores.
Passo 4
Dentro do parênteses observamos que os dois primeiros termos têm
em comum:
Agora aplicamos complementaridade
, logo
Portanto os três termos do parênteses reduzem para
Explicação: combinar
e
é como dizer “não-
e (não-
ou
)”, que equivale a “não-
”.
Passo 5
Temos agora
Vamos simplificar
. Usamos a identidade distributiva no sentido de soma para fatorizar:
Aqui usei
com
,
,
. Agora
(complementaridade), então
Também poderia-se aplicar a forma de absorção:
. Ambos conduzem ao mesmo resultado.
Passo 6
Substituindo de volta:
Se preferir expandir de volta em soma de produtos, isso é equivalente a
Comentário final: essa é a forma simplificada — menos termos/literais do que a original e fácil de implementar em portas lógicas.