Simplifique as expressões booleanas utilizando a Álgebra de Boole.
S=\bar{A} \bar{B} C+(\overline{A+B+\bar{C}})+\bar{A} \bar{B} \bar{C} D

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão booleana dada. A expressão fornecida é:
S=\overline{A}\,\overline{B}\,C+\bigl(\overline{A+B+\overline{C}}\bigr)+\overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C}\,D.
O que se pede: obter uma forma mais simples (equivalentemente menor) de S usando identidades da Álgebra de Boole. As variáveis envolvidas são A, B, C e D.

Passo 2

Aplicar a Lei de De Morgan ao termo \overline{A+B+\overline{C}}. A Lei de De Morgan para negação de soma diz que
\overline{X+Y+Z}=\overline{X}\,\overline{Y}\,\overline{Z}.
Tomando X=A, Y=B, Z=\overline{C}, obtemos:
\overline{A+B+\overline{C}}=\overline{A}\,\overline{B}\,\overline{\overline{C}}.
Usando a dupla negação \overline{\overline{C}}=C, isto vira
\overline{A+B+\overline{C}}=\overline{A}\,\overline{B}\,C.

Passo 3

Substituir o resultado do Passo 2 na expressão original. Como esse termo substituído é igual ao primeiro termo da soma, temos inicialmente:
S=\overline{A}\,\overline{B}\,C+\overline{A}\,\overline{B}\,C+\overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C}\,D.
Usando a idempotência X+X=X, os dois primeiros termos idênticos se reduzem a um só:
S=\overline{A}\,\overline{B}\,C+\overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C}\,D.

Passo 4

Fatorar o fator comum \overline{A}\,\overline{B} dos dois termos. A distributiva (fatoração) diz que XY+XZ=X(Y+Z). Aplicando aqui:
S=\overline{A}\,\overline{B}\,\bigl(C+\overline{C}\,D\bigr).

Passo 5

Simplificar a expressão dentro do parêntese \bigl(C+\overline{C}\,D\bigr). Uma identidade útil é
X+\overline{X}Y = X+Y,
que pode ser demonstrada por expansão ou usando De Morgan e distributiva. Aplicando com X=C e Y=D:
C+\overline{C}\,D = C+D.
Outra maneira de ver: C+\overline{C}\,D=(C+\overline{C})(C+D)=1\cdot(C+D)=C+D.

Passo 6

Substituindo a simplificação do Passo 5 na expressão fatorada:
S=\overline{A}\,\overline{B}\,(C+D).
Opcionalmente pode-se expandir de volta em soma de produtos:
S=\overline{A}\,\overline{B}\,C+\overline{A}\,\overline{B}\,D,
mas a forma fatorada \overline{A}\,\overline{B}\,(C+D) é mais compacta e geralmente considerada a simplificação final.

Passo 7

Resumo das identidades usadas (para fixar e poder aplicar na prova):
  • De Morgan: \overline{X+Y+Z}=\overline{X}\,\overline{Y}\,\overline{Z}.
  • Dupla negação: \overline{\overline{X}}=X.
  • Idempotência: X+X=X.
  • Distributiva/fatoração: XY+XZ=X(Y+Z).
  • Identidade útil: X+\overline{X}Y=X+Y.
Força aí! Se ficar nervoso na prova, procura por termos repetidos e fatores comuns — quase sempre ajudam a simplificar.

Resposta

\overline{A}\,\overline{B}\,(C+D)

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