Simplifique as expressões booleanas utilizando a Álgebra de Boole.
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão booleana dada. A expressão fornecida é:
O que se pede: obter uma forma mais simples (equivalentemente menor) de
usando identidades da Álgebra de Boole. As variáveis envolvidas são
,
,
e
.
Passo 2
Aplicar a Lei de De Morgan ao termo
. A Lei de De Morgan para negação de soma diz que
Tomando
,
,
, obtemos:
Usando a dupla negação
, isto vira
Passo 3
Substituir o resultado do Passo 2 na expressão original. Como esse termo substituído é igual ao primeiro termo da soma, temos inicialmente:
Usando a idempotência
, os dois primeiros termos idênticos se reduzem a um só:
Passo 4
Fatorar o fator comum
dos dois termos. A distributiva (fatoração) diz que
. Aplicando aqui:
Passo 5
Simplificar a expressão dentro do parêntese
. Uma identidade útil é
que pode ser demonstrada por expansão ou usando De Morgan e distributiva. Aplicando com
e
:
Outra maneira de ver:
.
Passo 6
Substituindo a simplificação do Passo 5 na expressão fatorada:
Opcionalmente pode-se expandir de volta em soma de produtos:
mas a forma fatorada
é mais compacta e geralmente considerada a simplificação final.
Passo 7
Resumo das identidades usadas (para fixar e poder aplicar na prova):
- De Morgan:
. - Dupla negação:
. - Idempotência:
. - Distributiva/fatoração:
. - Identidade útil:
.
Força aí! Se ficar nervoso na prova, procura por termos repetidos e fatores comuns — quase sempre ajudam a simplificar.