Simplifique as expressões booleanas utilizando a Álgebra de Boole. S=A \overline{[\bar{B}(\overline{C+D})+\bar{A}(\overline{B+C})]}+C \bar{D}+A \bar{B} C+A B
Passo 1
O que o enunciado pede: simplificar a expressão booleana dada.
Informações fornecidas (a expressão original):
S = A\,\overline{\big[\bar{B}(\overline{C+D})+\bar{A}(\overline{B+C})\big]} + C\bar{D} + A\bar{B}C + AB.
Passo 2
Vamos trabalhar primeiro dentro do complemento grande. Aplicando De Morgan a \overline{C+D} e a \overline{B+C}:
Simplificando os duplos complementos e aplicando De Morgan em \overline{(\bar{D}+\bar{A})}:
\overline{\bar{B}}=B,\quad \overline{\bar{C}}=C,\quad \overline{(\bar{D}+\bar{A})}=D A.
Portanto
\overline{\big[\bar{B}(\overline{C+D})+\bar{A}(\overline{B+C})\big]} = B + C + AD.
Passo 4
Multiplicando pelo A que está antes do complemento grande:
A\big(B + C + AD\big)=AB+AC+AD,
pois A\cdot A D = A D.
Passo 5
Substituindo esse resultado em S e juntando os outros termos:
S = AB + AC + AD + C\bar{D} + A\bar{B}C + AB.
Elimina-se a repetição de AB:
S = AB + AC + AD + C\bar{D} + A\bar{B}C.
Agora note que AC + A\bar{B}C tem AC em comum; fatorando:
AC + A\bar{B}C = AC(1+\bar{B}) = AC,
porque 1+\bar{B}=1. Assim o termo A\bar{B}C é redundante. Então
S = AB + AC + AD + C\bar{D}.
Podemos agrupar os três primeiros termos factorizando A:
S = A(B + C + D) + C\bar{D}.
Passo 6
Verificação rápida de que não dá para eliminar mais termos: há combinações de valores de A,B,C,D que tornam isoladamente verdadeiros AB, AD ou C\bar{D} sem que os outros termos o façam, portanto nenhum desses termos é absorvível pelos demais. Logo a forma obtida é uma simplificação adequada e concisa.