Simplifique as expressões, eliminando expoentes negativos, caso existam.
\left(\frac{2}{5}\right)^{3}(-5)^{4}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão e eliminar expoentes negativos, se houverem. A expressão dada é \left(\dfrac{2}{5}\right)^{3}(-5)^{4}. As informações relevantes: os expoentes são 3 e 4, ambos inteiros positivos; não há, à primeira vista, expoentes negativos na expressão original.

Passo 2

Relembrando regras de potências que vamos usar (explicando com calma):
  • Para qualquer inteiro n vale \left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}. Aqui a e b são números (no nosso caso a=2, b=5) e n é o expoente.
  • Para produto de potências com números, \left(\dfrac{a}{b}\right)^n\cdot c^n = \dfrac{a^n}{b^n}\cdot c^n. Podemos multiplicar os resultados numéricos depois.
  • Sinal: (-x)^{n} é positivo se n for par e negativo se n for ímpar, porque (-1)^n determina o sinal.
    Essas regras permitem calcular cada potência separadamente e depois multiplicar os resultados.

Passo 3

Calcular \left(\dfrac{2}{5}\right)^{3} usando a regra de potência de fração:
\left(\dfrac{2}{5}\right)^{3}=\dfrac{2^{3}}{5^{3}}=\dfrac{8}{125}.
Expliquei: elevou-se numerador e denominador ao expoente 3; 2^{3}=8 e 5^{3}=125.

Passo 4

Calcular (-5)^{4}. Como o expoente 4 é par, o resultado será positivo. Podemos escrever:
(-5)^{4}=(-1)^{4}\cdot 5^{4}=1\cdot 625=625.
Expliquei: (-1)^{4}=1 porque 4 é par; 5^{4}=625.

Passo 5

Multiplicar os resultados obtidos:
\left(\dfrac{2}{5}\right)^{3}(-5)^{4}=\dfrac{8}{125}\cdot 625.
Simplificando a fração antes de multiplicar torna a conta fácil: \dfrac{625}{125}=5. Portanto
\dfrac{8}{125}\cdot 625=8\cdot\left(\dfrac{625}{125}\right)=8\cdot 5=40.

Passo 6

Verificação final sobre expoentes negativos: na expressão original não havia expoentes negativos, então não foi necessário usar a regra \,a^{-n}=1/a^{n}. O resultado está simplificado e sem expoentes negativos.

Resposta

40

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