Um sistema de controle com retroação unitária simples possui uma função de transferência do processo
.
A entrada do sistema é uma função degrau com uma amplitude A ; A condição inicial do sistema no instante
é
, onde
é a saída do sistema. O índice de desempenho é definido como
.
a-) Mostrar que
.
b-) Como pode ser determinado o ganho K que minimizará este índice de desempenho?
A entrada do sistema é uma função degrau com uma amplitude A ; A condição inicial do sistema no instante
a-) Mostrar que
b-) Como pode ser determinado o ganho K que minimizará este índice de desempenho?
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte:\n
- Dados: a função de transferência do processo em malha aberta é
.\n - A realimentação é unitária (ou seja, saída fed-back com ganho 1).\n
- A entrada de referência é um degrau de amplitude
(ou seja, ).\n - Condição inicial no instante
(que vamos tomar como ) é .\n - Índice de desempenho pedido é
(assumi integração até porque a expressão pedida é independente de tempo finito).\n
Perguntas:\n
a) Mostrar que\n
b) Determinar o ganhoque minimiza esse índice.\n
Passo 2
Encontrar a função de transferência em malha fechada (relevo rápido do raciocínio): em realimentação unitária a função de transferência de malha fechada é
Substituindo
obtemos
Interpretação rápida: trata-se de um sistema de primeira ordem com polo em
e ganho estático unitário (ou seja, a saída tende ao valor do degrau
).
Passo 3
Obter a equação diferencial no domínio do tempo que descreve o sistema em malha fechada. A relação
passando para o domínio do tempo (transformada inversa de Laplace) fornece a ODE de primeira ordem:
Aqui
para
. Esta é uma equação linear de primeira ordem não-homogênea. Vou resolver passo a passo (método padrão de fator integrante ou conhecimento de solução de primeira ordem): a solução geral é soma da solução particular estacionária e da solução homogênea decrescente.
Solução particular (estado estacionário) para entrada constante
é o valor que anula a derivada:
Solução homogênea (da equação
) é
onde
é constante determinada pela condição inicial. Impor
dá
Portanto a resposta no tempo é
Comentário didático: essa forma é típica de sistemas de primeira ordem — a saída parte do valor inicial
e decai exponencialmente até o valor final
com constante de tempo
.
Passo 4
Calcular o erro
(diferença referência menos saída). Como
,
Simplificando,
Interpretação: o erro inicial é
e decai exponencialmente com a mesma constante de tempo
.
Passo 5
Calcular o índice de desempenho
Tirando fator constante para fora da integral:
Usamos a fórmula básica de integrais exponenciais: para
,
Aqui
(assumimos
para estabilidade). Logo
Substituindo de volta:
Isto prova a parte (a).
Passo 6
Determinar
que minimiza
. Temos a expressão obtida
Trate
como constante não-negativa. Diferenciando em relação a
:
Observação: para
temos
, isto é,
é estritamente decrescente em
. Portanto não existe um valor finito de
que atinja um mínimo fechado; o índice tende a diminuir à medida que
aumenta. O ínfimo (menor limite) é obtido quando
, e nesse limite
Comentário prático: matematicamente a “melhor” escolha é aumentar
o máximo possível. Na prática existem limitações (saturação de atuadores, ruído, margem de estabilidade se houver dinâmica não modelada, etc.), então escolhe-se um
grande porém compatível com restrições físicas e de robustez.
Resposta
a)
\n
b) Não existe minimizador finito;
decresce com
e o ínfimo é obtido quando
(na prática escolhe-se o maior
aceitável considerando restrições reais).
b)