Um sistema elétrico está especificado para 10 \mathrm{kVA}, 200 \mathrm{~V} com um fator de potência adiantado 0,5.
a) Determine a impedância do sistema em coordenadas retangulares.
b) Calcule a potência média fornecida ao sistema.

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e do que pede:
  • Dados fornecidos:
    • Potência aparente \displaystyle S=10\\ \mathrm{kVA}=10000\\ \mathrm{VA}.
    • Tensão eficaz \displaystyle V=200\\ \mathrm{V}.
    • Fator de potência adiantado \displaystyle \mathrm{PF}=0,5 (adiantado significa que a corrente antecipa a tensão).
  • O enunciado pede:
    • (a) Determinar a impedância do sistema em coordenadas retangulares (ou seja, Z=R+jX em ohms).
    • (b) Calcular a potência média (potência ativa) fornecida ao sistema (em watts).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação passo a passo):
  • Potência complexa: \displaystyle S = P + jQ, onde
    • \displaystyle P é a potência ativa (média), em watts;
    • \displaystyle Q é a potência reativa, em volt-ampere reativos (var).
  • Relação entre tensão, corrente e potência complexa (em fasores):
    S = V\,I^*
    onde V é a fasor da tensão (tomada como referência) e I^* é o conjugado do fasor de corrente.
  • Relação útil para obter a impedância a partir de S e V:
    S = \frac{V^2}{Z^*} \quad\Longrightarrow\quad Z^* = \frac{V^2}{S}.
    Explicação: usando I=V/Z e S=V I^*=V(V/Z)^*=V^2/Z^*. Assim, depois de obter Z^* toma-se o conjugado para achar Z.

Passo 3

Determinar o ângulo entre tensão e corrente a partir do fator de potência:
  • O fator de potência é \displaystyle \mathrm{PF}=\cos\varphi=0,5. Logo \varphi=\operatorname{arccos}(0,5)=60^\circ.
  • Como o fator de potência é adiantado, a corrente antecipa a tensão, o que corresponde a \displaystyle Q<0. Portanto o ângulo do número complexo \displaystyle S é -\varphi. Assim o fasor da potência aparente é S = 10000\angle -60^\circ\\ \mathrm{VA}.

Passo 4

Calcular Z^*=\dfrac{V^2}{S} e daí Z:
  • Primeiro calcule \displaystyle V^2:
    V^2 = (200)^2 = 40000.
  • Agora faça a divisão em forma polar:
    Z^*=\frac{V^2}{S}=\frac{40000}{10000\angle -60^\circ}=4\angle +60^\circ\\ \Omega.
    (porque \;40000/10000=4\; e o ângulo fica 0^\circ-(-60^\circ)=+60^\circ).
  • Finalmente, obtenha Z tomando o conjugado de Z^*:
    Z = (Z^*)^* = 4\angle -60^\circ\\ \Omega.

Passo 5

Converter Z de forma polar para coordenadas retangulares e simplificar:
  • Use a forma trigonométrica: Z = 4\big(\cos(-60^\circ)+j\sin(-60^\circ)\big).
  • Como \cos(60^\circ)=\tfrac{1}{2} e \sin(60^\circ)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, e \sin(-60^\circ)=-\sin(60^\circ), obtemos: Z = 4\left(\tfrac{1}{2}+j\big(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big)\right) = 4\cdot\tfrac{1}{2} - j\,4\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} = 2 - j\,2\sqrt{3}\\ \Omega.
  • Em valor numérico aproximado: Z \approx 2 - j\,3,4641\\ \Omega.

Passo 6

Calcular a potência média (potência ativa) fornecida ao sistema:
  • A potência ativa é a parte real de S, ou \;P=|S|\cos\theta\; onde \theta é o argumento de S. Aqui \theta=-60^\circ. Então P = 10000\cos(-60^\circ)=10000\cdot 0,5 = 5000\\ \mathrm{W}.
  • (Comentário didático rápido: o sinal negativo do ângulo apenas indica que a potência reativa é negativa; a potência ativa permanece positiva e iguais a \mathrm{VA}\times\mathrm{PF}. Se quiser, a reativa seria \;Q=10000\sin(-60^\circ)=-8660,3\\ \mathrm{var}, indicando componente capacitiva.)

Resposta

Z = 2 - j\,2\sqrt{3}\\ \Omega \approx 2 - j\,3,4641\\ \Omega
P = 5000\\ \mathrm{W}

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