Um sistema é formado por 100 componentes, cada um dos quais com confiabilidade de 0,95 . Se esses componentes funcionarem independentemente um do outro, e se o sistema completo funcionar adequadamente quando a proporção de componentes funcionando for ao menos de 80 \%, qual será a confiabilidade desse sistema? (Resposta: \cong 0,99 )

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (retirei esses números diretamente do enunciado):
  • Número total de componentes: n=100.
  • Confiabilidade (probabilidade de um componente funcionar) de cada componente: p=0{,}95.
  • Componentes independentes entre si.
  • O sistema funciona adequadamente se a proporção de componentes funcionando for ao menos 80\%. Como há 100 componentes, isso significa que o sistema funciona quando pelo menos 80 componentes estão funcionando.
O problema pede: calcular a confiabilidade do sistema, ou seja, a probabilidade de que pelo menos 80 componentes funcionem simultaneamente.

Passo 2

Modelagem probabilística (o que vamos usar e por quê).
  • Seja X a quantidade de componentes que funcionam. Como cada componente funciona com probabilidade p independentemente, X segue uma distribuição binomial com parâmetros n e p:
X \sim \text{Binomial}(n,p).
  • A função de massa de probabilidade da binomial é
\mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{\,n-k},
onde \binom{n}{k} é o número de combinações de n itens tomados k a k.
  • O que queremos é a probabilidade do evento “pelo menos 80 componentes funcionarem”:
\mathbb{P}(X\ge 80)=\sum_{k=80}^{100}\binom{100}{k} p^{k}(1-p)^{100-k}.
Essa soma é exata, mas calcular termo a termo é trabalhoso manualmente. Como n=100 é grande, é apropriado aproximar a binomial por uma normal (teorema do limite central / aproximação normal para binomial), que é muito precisa aqui.

Passo 3

Apresentando a aproximação normal para a binomial (fórmulas e interpretação).
  • Para X\sim\text{Binomial}(n,p), a esperança (média) e a variância são:
\mathbb{E}[X]=np,\qquad \mathrm{Var}(X)=np(1-p).
  • Para n grande, X é aproximada por uma normal N(np,\;np(1-p)). Quando aproximar uma probabilidade discreta como \mathbb{P}(X\ge k) usa-se correção de continuidade: aproximar \mathbb{P}(X\ge k) por \mathbb{P}\big(Z\ge \dfrac{k-0{,}5 - np}{\sqrt{np(1-p)}}\big) onde Z é normal padrão.

Passo 4

Calcular média e desvio padrão (com contas mostradas).
  • Cálculo da média:
\mathbb{E}[X]=np=100\cdot 0{,}95=95.
  • Cálculo da variância e do desvio padrão:
\mathrm{Var}(X)=np(1-p)=100\cdot 0{,}95\cdot 0{,}05=4{,}75.
\text{Desvio padrão } \sigma=\sqrt{4{,}75}\approx 2{,}179449.ã

Passo 5

Aplicar a aproximação normal com correção de continuidade para \mathbb{P}(X\ge 80).
  • Usando correção de continuidade:
\mathbb{P}(X\ge 80)\approx 1-\mathbb{P}\big(X\le 79\big)\approx 1-\Phi\!\left(\frac{79{,}5 - \mathbb{E}[X]}{\sigma}\right),
onde \Phi é a função de distribuição da normal padrão.
  • Substituindo os valores:
\frac{79{,}5 - \mathbb{E}[X]}{\sigma}=\frac{79{,}5-95}{2{,}179449}=\frac{-15{,}5}{2{,}179449}\approx -7{,}11.
  • Portanto
\mathbb{P}(X\ge 80)\approx 1-\Phi(-7{,}11).

Passo 6

Avaliar a cauda da normal padrão.
  • A probabilidade \Phi(-7{,}11) é extremamente pequena (valor da tabela ou calculadora: da ordem de 10^{-12} a 10^{-13}). Por exemplo, \Phi(-7{,}11)\approx 6\times 10^{-13} (praticamente zero).
  • Logo
\mathbb{P}(X\ge 80)\approx 1-6\times 10^{-13}\approx 0{,}9999999999994\\ (\text{praticamente }1{,}00).

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida por raciocínio: a média é 95 com desvio padrão cerca de 2{,}18. A probabilidade de cair tão longe quanto 80 (mais de 7 desvios padrão abaixo da média) é virtualmente nula, portanto a confiabilidade do sistema é praticamente 1.

Resposta

\approx 0{,}999999999999

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