Um sistema é formado por 100 componentes, cada um dos quais com confiabilidade de 0,95 . Se esses componentes funcionarem independentemente um do outro, e se o sistema completo funcionar adequadamente quando a proporção de componentes funcionando for ao menos de
, qual será a confiabilidade desse sistema? (Resposta:
)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (retirei esses números diretamente do enunciado):
- Número total de componentes:
. - Confiabilidade (probabilidade de um componente funcionar) de cada componente:
. - Componentes independentes entre si.
- O sistema funciona adequadamente se a proporção de componentes funcionando for ao menos
. Como há componentes, isso significa que o sistema funciona quando pelo menos componentes estão funcionando.
O problema pede: calcular a confiabilidade do sistema, ou seja, a probabilidade de que pelo menos
componentes funcionem simultaneamente.
Passo 2
Modelagem probabilística (o que vamos usar e por quê).
- Seja
a quantidade de componentes que funcionam. Como cada componente funciona com probabilidade independentemente, segue uma distribuição binomial com parâmetros e :
- A função de massa de probabilidade da binomial é
onde
é o número de combinações de
itens tomados
a
.
- O que queremos é a probabilidade do evento “pelo menos 80 componentes funcionarem”:
Essa soma é exata, mas calcular termo a termo é trabalhoso manualmente. Como
é grande, é apropriado aproximar a binomial por uma normal (teorema do limite central / aproximação normal para binomial), que é muito precisa aqui.
Passo 3
Apresentando a aproximação normal para a binomial (fórmulas e interpretação).
- Para
, a esperança (média) e a variância são:
- Para
grande, é aproximada por uma normal . Quando aproximar uma probabilidade discreta como usa-se correção de continuidade: aproximar por onde é normal padrão.
Passo 4
Calcular média e desvio padrão (com contas mostradas).
- Cálculo da média:
- Cálculo da variância e do desvio padrão:
Passo 5
Aplicar a aproximação normal com correção de continuidade para
.
- Usando correção de continuidade:
onde
é a função de distribuição da normal padrão.
- Substituindo os valores:
- Portanto
Passo 6
Avaliar a cauda da normal padrão.
- A probabilidade
é extremamente pequena (valor da tabela ou calculadora: da ordem de a ). Por exemplo, (praticamente zero). - Logo
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida por raciocínio: a média é
com desvio padrão cerca de
. A probabilidade de cair tão longe quanto
(mais de
desvios padrão abaixo da média) é virtualmente nula, portanto a confiabilidade do sistema é praticamente
.