Em um sistema de transmissão digital, um sinal bidimensional é representado pelo vetor \mathrm{v}=(2,1).
Durante a transmissão, o sinal sofre inicialmente um cisalhamento horizontal modelado por: \mathrm{S}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(\mathrm{x}+\mathrm{y}, \mathrm{y}), e, em seguida, uma rotação de 90^{\circ} no sentido anti-horário, modelada por: R(x, y)=(-y, x).
a) Determine as matrizes associadas às transformações S e R.
b) Determine o vetor obtido após aplicar o cisalhamento ao sinal v.
c) Determine o vetor obtido após aplicar a rotação ao resultado do item anterior.
d) Explique geometricamente o efeito combinado do cisalhamento e da rotação sobre o sinal transmitido.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei estes dados do enunciado).
  • Vetor sinal inicial: \mathrm{v}=(2,1).
  • Cisalhamento horizontal: S(x,y)=(x+y,y).
  • Rotação de 90^\circ no sentido anti-horário: R(x,y)=(-y,x).
    O enunciado pede:
    (a) determinar as matrizes associadas a S e a R;
    (b) determinar o vetor obtido após aplicar o cisalhamento em \mathrm{v};
    (c) determinar o vetor obtido após aplicar a rotação ao resultado do item anterior;
    (d) explicar geometricamente o efeito combinado do cisalhamento e da rotação sobre o sinal transmitido.

Passo 2

Entendendo como construir a matriz de uma transformação linear (mini-aula):
  • Para uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2, a matriz associada na base canônica \{(1,0),(0,1)\} é obtida aplicando T aos vetores base e_1=(1,0) e e_2=(0,1).
  • As imagens T(e_1) e T(e_2) formam as colunas da matriz de T.
    Isso funciona porque qualquer vetor (x,y) pode ser escrito como x e_1 + y e_2 e a imagem é xT(e_1)+yT(e_2), que corresponde à multiplicação da matriz pelas coordenadas \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.

Passo 3

Aplicando o procedimento ao cisalhamento S(x,y)=(x+y,y):
  • Calcular S(e_1)=S(1,0). Substituindo: S(1,0)=(1+0,0)=(1,0).
  • Calcular S(e_2)=S(0,1). Substituindo: S(0,1)=(0+1,1)=(1,1).
    Então as colunas da matriz são S(e_1) e S(e_2). Logo a matriz de S na base canônica é
S=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Breve interpretação: essa matriz deixa a segunda coordenada y inalterada e acrescenta y à coordenada x (por isso é cisalhamento horizontal).]

Passo 4

Agora a matriz da rotação R(x,y)=(-y,x) pelo mesmo procedimento:
  • R(e_1)=R(1,0)=(-0,1)=(0,1).
  • R(e_2)=R(0,1)=(-1,0)=(-1,0).
    Portanto a matriz de R é
R=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.
Comentário didático: esta é a matriz padrão de rotação anti-horária de 90^\circ; ela troca as coordenadas e muda o sinal de uma delas de forma que o vetor gira 90°.]

Passo 5

Aplicando o cisalhamento S ao vetor \mathrm{v}=(2,1) (modo computacional e interpretativo):
  • Podemos usar a fórmula direta S(x,y)=(x+y,y). Substituindo (x,y)=(2,1) obtemos
S(2,1)=(2+1,\,1)=(3,1).
  • Verificação pela multiplicação matricial:
\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot2 + 1\cdot1\\[4pt]0\cdot2 + 1\cdot1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Interpretação: o cisalhamento deslocou o vetor uma unidade extra na direção x porque sua coordenada y vale 1.]

Passo 6

Agora aplicamos a rotação R ao vetor obtido (3,1):
  • Usando a fórmula R(x,y)=(-y,x):
R(3,1)=(-1,\,3)=(-1,3).
  • Verificação por multiplicação matricial:
\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\cdot3 + (-1)\cdot1\\[4pt]1\cdot3 + 0\cdot1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\[4pt]3\end{pmatrix}.]

Passo 7

Olhar a transformação combinada e propriedades (bom para a prova):
  • A composição é R\circ S. A matriz da transformação combinada é R\,S (primeiro aplica-se S, depois R). Calculemos o produto
R\,S= \begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\cdot1 + (-1)\cdot0 & 0\cdot1 + (-1)\cdot1\\[4pt]1\cdot1 + 0\cdot0 & 1\cdot1 + 0\cdot1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
  • Aplicando essa matriz a \mathrm{v}=(2,1) confirmamos o resultado:
\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
  • Determinantes: \det S = 1 e \det R = 1, logo \det(RS)=1. Isso significa que a transformação combinada preserva área e orientação (não espelha, nem distorce a área).]

Passo 8

Interpretação geométrica detalhada e intuitiva (como explicar na prova):
  • O cisalhamento horizontal S mantém a coordenada y igual e soma y à coordenada x. Geometricamente: cada ponto é deslocado horizontalmente numa distância proporcional à sua altura y. Linhas horizontais ficam horizontais, retas verticais ficam inclinadas para a direita (se y>0) ou para a esquerda (se y<0).
  • A rotação R de 90^\circ ao final gira todo o plano no sentido anti-horário, portanto transforma as direções inclinadas do resultado do cisalhamento em novas direções perpendiculares.
  • Combinando: primeiro o vetor foi “esticado” horizontalmente na medida de sua altura (ficou de (2,1) para (3,1)), depois esse novo vetor foi girado 90^\circ para (-1,3). Visualmente, o efeito final é que o ponto original desloca-se para uma posição que resulta da rotação de um vetor que foi previamente deslizado horizontalmente conforme sua componente vertical. Como o determinante é 1, não houve ganho nem perda de área — apenas uma deformação sem mudança de orientação (não houve espelhamento).
  • Observação prática: no domínio de sinais, cisalhamento altera a “inclinação” do constelação (altera a projeção horizontal dependente da componente vertical) e a rotação muda a fase ou orientação; juntos eles produzem uma mudança de posição e direção previsível, sem alterar a densidade (área) da constelação.

Resposta

(a) S=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},\; R=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.
(b) S(2,1)=(3,1).
(c) R(3,1)=(-1,3).
(d) O cisalhamento desloca cada ponto horizontalmente por uma quantidade igual à sua componente y, inclinando vetores; a rotação de 90^\circ gira esse resultado em torno da origem. A combinação corresponde à matriz \begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}, que preserva área e orientação, ou seja, desliza horizontalmente conforme y e depois gira o plano 90^\circ, movendo (2,1) para (-1,3).]

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