Em um sistema de transmissão digital, um sinal bidimensional é representado pelo vetor
.
Durante a transmissão, o sinal sofre inicialmente um cisalhamento horizontal modelado por:
, e, em seguida, uma rotação de
no sentido anti-horário, modelada por:
.
a) Determine as matrizes associadas às transformações
e
.
b) Determine o vetor obtido após aplicar o cisalhamento ao sinal v.
c) Determine o vetor obtido após aplicar a rotação ao resultado do item anterior.
d) Explique geometricamente o efeito combinado do cisalhamento e da rotação sobre o sinal transmitido.
a) Determine as matrizes associadas às transformações
b) Determine o vetor obtido após aplicar o cisalhamento ao sinal v.
c) Determine o vetor obtido após aplicar a rotação ao resultado do item anterior.
d) Explique geometricamente o efeito combinado do cisalhamento e da rotação sobre o sinal transmitido.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei estes dados do enunciado).
- Vetor sinal inicial:
. - Cisalhamento horizontal:
. - Rotação de
no sentido anti-horário: .
O enunciado pede:
(a) determinar as matrizes associadas ae a ;
(b) determinar o vetor obtido após aplicar o cisalhamento em;
(c) determinar o vetor obtido após aplicar a rotação ao resultado do item anterior;
(d) explicar geometricamente o efeito combinado do cisalhamento e da rotação sobre o sinal transmitido.
Passo 2
Entendendo como construir a matriz de uma transformação linear (mini-aula):
- Para uma transformação linear
, a matriz associada na base canônica é obtida aplicando aos vetores base e . - As imagens
e formam as colunas da matriz de .
Isso funciona porque qualquer vetorpode ser escrito como e a imagem é , que corresponde à multiplicação da matriz pelas coordenadas .
Passo 3
Aplicando o procedimento ao cisalhamento
:
- Calcular
. Substituindo: . - Calcular
. Substituindo: .
Então as colunas da matriz sãoe . Logo a matriz de na base canônica é
Breve interpretação: essa matriz deixa a segunda coordenada
inalterada e acrescenta
à coordenada
(por isso é cisalhamento horizontal).]
Passo 4
Agora a matriz da rotação
pelo mesmo procedimento:
-
. -
.
Portanto a matriz deé
Comentário didático: esta é a matriz padrão de rotação anti-horária de
; ela troca as coordenadas e muda o sinal de uma delas de forma que o vetor gira 90°.]
Passo 5
Aplicando o cisalhamento
ao vetor
(modo computacional e interpretativo):
- Podemos usar a fórmula direta
. Substituindo obtemos
- Verificação pela multiplicação matricial:
Interpretação: o cisalhamento deslocou o vetor uma unidade extra na direção
porque sua coordenada
vale
.]
Passo 6
Agora aplicamos a rotação
ao vetor obtido
:
- Usando a fórmula
:
- Verificação por multiplicação matricial:
Passo 7
Olhar a transformação combinada e propriedades (bom para a prova):
- A composição é
. A matriz da transformação combinada é (primeiro aplica-se , depois ). Calculemos o produto
- Aplicando essa matriz a
confirmamos o resultado:
- Determinantes:
e , logo . Isso significa que a transformação combinada preserva área e orientação (não espelha, nem distorce a área).]
Passo 8
Interpretação geométrica detalhada e intuitiva (como explicar na prova):
- O cisalhamento horizontal
mantém a coordenada igual e soma à coordenada . Geometricamente: cada ponto é deslocado horizontalmente numa distância proporcional à sua altura . Linhas horizontais ficam horizontais, retas verticais ficam inclinadas para a direita (se ) ou para a esquerda (se ). - A rotação
de ao final gira todo o plano no sentido anti-horário, portanto transforma as direções inclinadas do resultado do cisalhamento em novas direções perpendiculares. - Combinando: primeiro o vetor foi “esticado” horizontalmente na medida de sua altura (ficou de
para ), depois esse novo vetor foi girado para . Visualmente, o efeito final é que o ponto original desloca-se para uma posição que resulta da rotação de um vetor que foi previamente deslizado horizontalmente conforme sua componente vertical. Como o determinante é , não houve ganho nem perda de área — apenas uma deformação sem mudança de orientação (não houve espelhamento). - Observação prática: no domínio de sinais, cisalhamento altera a “inclinação” do constelação (altera a projeção horizontal dependente da componente vertical) e a rotação muda a fase ou orientação; juntos eles produzem uma mudança de posição e direção previsível, sem alterar a densidade (área) da constelação.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)
(d) O cisalhamento desloca cada ponto horizontalmente por uma quantidade igual à sua componente
, inclinando vetores; a rotação de
gira esse resultado em torno da origem. A combinação corresponde à matriz
, que preserva área e orientação, ou seja, desliza horizontalmente conforme
e depois gira o plano
, movendo
para
.]