(a) Não possui solução.
(b) Possui infinitas soluções.
(c) Possui solução única e x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{100}.
(d) Possui solução única e x_{100}=0.
(e) Possui solução única e x_{100}=\frac{100}{99}.
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear com 100 incógnitas x_{1},\dots,x_{100}\) e 100 equações, cujo padrão é:
\[\begin{cases} x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{100}=1,\\[4pt] x_{1}+2x_{2}+2x_{3}+\cdots+2x_{100}=2,\\[4pt] x_{1}+x_{2}+3x_{3}+\cdots+3x_{100}=3,\\[4pt] \vdots\\[4pt] x_{1}+x_{2}+\cdots+99x_{99}+99x_{100}=99,\\[4pt] x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{99}+100x_{100}=100. \end{cases}
O que nos pedem é escolher, entre as alternativas (a)–(e), qual afirmação sobre o sistema é correta:
(a) não possui solução;
(b) possui infinitas soluções;
(c) possui solução única e x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{100}\];
- (d) possui solução única e \(x_{100}=0;
- (e) possui solução única e x_{100}=\dfrac{100}{99}.
Vou agora resolver o sistema passo a passo para descobrir a solução (se houver) e então comparar com as alternativas.]
Passo 2
Para organizar a resolução, introduzo somas parciais úteis (isso é um truque comum para sistemas com coeficientes constantes por blocos).
Defino, para k=1,\dots,100,
S_{k}=\sum_{i=k}^{100} x_{i}
ou seja, S_k é a soma “do k-ésimo até o último” (soma de cauda). Também chamo
T=\sum_{i=1}^{100} x_{i}.
Note que S_{1}=T.
Agora reescrevo a k-ésima equação do sistema de forma compacta. Observando o padrão: na equação k os coeficientes são 1 para i<k e são k para i\ge k. Assim a k-ésima equação pode ser escrita como
\sum_{i=1}^{k-1} x_{i} + k\sum_{i=k}^{100} x_{i} = k.
Em termos das somas definidas,
\underbrace{\sum_{i=1}^{k-1} x_{i}}_{=T-S_{k}} + k S_{k} = k.
Passo 3
Da primeira equação (caso k=1) temos diretamente
T=\sum_{i=1}^{100} x_{i}=1,
pois a primeira linha é x_{1}+\cdots+x_{100}=1. Então S_{1}=1.
Passo 4
Usando a expressão geral da equação k e substituindo T=1, obtemos, para qualquer k,
(1 - S_{k}) + k S_{k} = k.
Isso vem de \sum_{i=1}^{k-1} x_i = T - S_k = 1 - S_k. Simplificando:
1 - S_{k} + k S_{k} = k
1 + (k-1)S_{k} = k
(k-1)S_{k} = k-1.
Para k\ge 2 podemos dividir por k-1 e obter
S_{k}=1.
E já sabíamos S_{1}=1. Portanto concluímos que
S_{k}=1\quad\text{para todo }k=1,2,\dots,100.
Passo 5
Agora uso a relação entre somas consecutivas para obter cada incógnita. Para k=1,\dots,99,
x_{k}=S_{k}-S_{k+1}.
Como S_{k}=1 e S_{k+1}=1, segue
x_{k}=1-1=0\quad\text{para }k=1,\dots,99.
E para k=100 temos x_{100}=S_{100}=1.
Assim a solução encontrada é
x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{99}=0,\qquad x_{100}=1.
Passo 6
Verificação rápida (pra ficar seguro): plugando esse vetor na segunda equação, por exemplo,
x_{1}+2x_{2}+\cdots+2x_{100}=0+\cdots+2\cdot 1=2,
funciona; na última equação dá 0+\cdots+100\cdot 1=100. Todas as equações são satisfeitas, logo temos uma solução consistente. Como a dedução mostrou valores certos e únicos para cada x_{k}, o sistema tem solução única (não há grau de liberdade restante).
Passo 7
Comparando com as alternativas:
(a) “não possui solução”: falso — o sistema tem solução.
(b) “possui infinitas soluções”: falso — encontramos uma solução única.
(c) "possui solução única e x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{100}": falso — não são todos iguais (os primeiros 99 são zero e x_{100}=1).
(d) "possui solução única e x_{100}=0": falso — na solução x_{100}=1.
(e) "possui solução única e x_{100}=\dfrac{100}{99}": falso — x_{100}=1, não \dfrac{100}{99}.
Portanto nenhuma das alternativas (a)–(e) está correta.