3-) Quando o sol está alto no céu, ele fornece aproximadamente 1000 watts de potência para cada metro quadrado da superfície terrestre. A temperatura da superfície do Sol é de cerca de 6.000 K , enquanto a da Terra é de cerca de 300 K .
a-) Estime a entropia criada num ano pelo fluxo de calor solar sobre um metro quadrado da terra.
b-) Suponha que você plante grama neste metro quadrado de terra. Algumas pessoas podem argumentar que o crescimento da grama (ou de qualquer outro ser vivo) viola a segunda lei da termodinâmica, porque os nutrientes desordenados são convertidos em uma forma de vida ordenada. Como você responderia?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei estes números do enunciado):
  • Fluxo de energia solar incidente: \dot{Q}=1000\\ \mathrm{W/m^2} (isto é, 1000\\ \mathrm{J/s} por metro quadrado).
  • Temperatura efetiva da superfície do Sol: T_{S}=6000\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura da Terra (superfície, ordem de grandeza usada aqui): T_{E}=300\\ \mathrm{K}.
  • Tempo considerado: um ano. Vou usar 1\\ \text{ano}=365\cdot24\cdot3600=3{,}1536\times10^{7}\\ \mathrm{s}.
Perguntas:
(a) Estimar a entropia criada num ano pelo fluxo de calor solar sobre 1\\ \mathrm{m^2} da Terra.
(b) Responder, qualitativamente (com apoio numérico), se o crescimento da grama viola a segunda lei da termodinâmica.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rapidinha): quando uma quantidade de calor Q passa de um reservatório a temperatura T_S para outro a temperatura T_E, o reservatório que recebe ganha entropia Q/T_E e o que perde perde entropia Q/T_S. A entropia total criada (produzida) pelo processo é a diferença:
\Delta S = Q\!\left(\dfrac{1}{T_E}-\dfrac{1}{T_S}\right).
Explicando as variáveis:
  • Q é a energia total transferida (em joules).
  • T_E é a temperatura do corpo que recebe o calor (aqui, a Terra, em kelvin).
  • T_S é a temperatura do corpo que cede o calor (aqui, o Sol, em kelvin).
Por taxa (por unidade de tempo) a produção de entropia é
\dot{S}=\dot{Q}\!\left(\dfrac{1}{T_E}-\dfrac{1}{T_S}\right).
Vou trabalhar com a energia total num ano porque o enunciado pede a entropia criada num ano.

Passo 3

Calcular a energia total recebida em um ano por 1\\ \mathrm{m^2}:
Q=\dot{Q}\,t
com \dot{Q}=1000\\ \mathrm{J/s} e t=3{,}1536\times10^{7}\\ \mathrm{s}. Logo
Q = 1000 \times 3{,}1536\times10^{7} = 3{,}1536\times10^{10}\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Calcular a diferença dos recíprocos das temperaturas:
\dfrac{1}{T_E}-\dfrac{1}{T_S}=\dfrac{1}{300}-\dfrac{1}{6000}.
Faço as contas passo a passo:
\dfrac{1}{300}=0{,}003333333\ldots,\qquad \dfrac{1}{6000}=0{,}0001666667,
\dfrac{1}{300}-\dfrac{1}{6000}=0{,}0031666667=\dfrac{19}{6000}.

Passo 5

Agora uso a fórmula da entropia criada num ano:
\Delta S = Q\!\left(\dfrac{1}{T_E}-\dfrac{1}{T_S}\right) = 3{,}1536\times10^{10}\times 0{,}0031666667.
Calculo numérico:
3{,}1536\times10^{10}\times\frac{19}{6000} = \left(\frac{3{,}1536\times10^{10}}{6000}\right)\times 19 = 5{,}256\times10^{6}\times 19 = 9{,}9864\times10^{7}\\ \mathrm{J/K}.
Arredondando de forma simples:
\Delta S \approx 9{,}99\times10^{7}\\ \mathrm{J/K}\approx 1{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{J/K}
por metro quadrado por ano.
Interpretação curta: isso significa que o fluxo solar sobre 1\\ \mathrm{m^2} gera cerca de 10^{8}\\ \mathrm{J/K} de entropia líquida a cada ano — grande número!

Passo 6

Responder (b) com argumento físico e um contra-exemplo numérico para ficar seguro e confiante.
Argumento físico (didático, sem pular etapas):
  • A segunda lei afirma que, para o universo isolado, a entropia total não diminui. Sistemas vivos (grama, pessoas) são sistemas abertos: trocam energia e matéria com o ambiente.
  • A grama usa energia de baixa entropia (fótons “quentes” do Sol, emitidos a T_S) para construir estrutura ordenada, diminuindo sua entropia local. Mas esse processo produz calor e resíduos que aumentam a entropia do ambiente em quantidade maior do que a redução local. Logo a entropia total (grama + ambiente) aumenta — nada viola a segunda lei.
  • Em termos práticos: os fótons do Sol têm “qualidade” alta (cada joule carrega pouca entropia porque 1/T_S é pequeno). Quando a Terra e a biosfera dissipam energia a temperaturas muito mais baixas ( \sim T_E), cada joule gera mais entropia. Esse aumento compensa qualquer organização local.
Estimativa numérica simples para ver que o balanço fecha:
  • Energia química aproximada armazenada por 1\\ \mathrm{kg} de biomassa: E_{\mathrm{bio}}\sim 2{,}0\times10^{7}\\ \mathrm{J/kg} (ordem de magnitude típica).
  • A diminuição de entropia associada a armazenar essa energia (ordem de grandeza) é cerca de E_{\mathrm{bio}}/T_E:
\Delta S_{\text{ordem por kg}}\sim \dfrac{2{,}0\times10^{7}}{300}\approx 6{,}7\times10^{4}\\ \mathrm{J/K\\ per\\ kg}.
  • Comparando com a entropia disponível criada pelo Sol por 1\\ \mathrm{m^2} em um ano ( \approx 9{,}99\times10^{7}\\ \mathrm{J/K}), vemos que a entropia gerada anualmente é suficiente para “pagar” a organização de
\dfrac{9{,}99\times10^{7}}{6{,}7\times10^{4}}\approx 1{,}5\times10^{3}\\ \mathrm{kg}
de biomassa por ano — um número enorme (essa conta é só para comparar ordens de grandeza, não para prever produtividade real). Ou seja: o fluxo de energia solar cria muito mais entropia do que a pequena diminuição local necessária para formar plantas.
Conclusão curta: o crescimento da grama não viola a segunda lei porque o processo exporta calor/resíduos e aumenta a entropia do ambiente mais do que a ordem ganha localmente.

Resposta

(a) \Delta S \approx 9{,}99\times10^{7}\\ \mathrm{J/K} por metro quadrado por ano.
(b) Não — o crescimento da grama não viola a segunda lei; seres vivos são sistemas abertos que reduzem entropia localmente à custa de um aumento maior de entropia no ambiente (o fluxo solar fornece energia de baixa entropia e a dissipação produz entropia suficiente).

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