Para um sólido de Einstein com cada um dos seguintes valores de N e q , liste todos os microestados possíveis, conte-os, e verifique a fórmula determinada em sala.
c-)
;
c-)
Passo 1
O enunciado pede, para um sólido de Einstein com
osciladores e
quanta de energia, que eu:
- liste todos os microestados possíveis;
- conte (ou seja, determine o número total de microestados);
- verifique a fórmula dada em sala para o número de microestados.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
-
(há 4 osciladores distinguíveis). -
(há 2 quanta de energia indistinguíveis a distribuir). - Um microestado é uma atribuição dos quanta aos osciladores; pode ser representado por um 4-tuplo
de inteiros não negativos tal que
Passo 2
Antes de enumerar, vamos entender claramente a regra de contagem (vou explicar como pensar na prova):
- Cada microestado é uma solução inteira não negativa da equação
. - Os quanta são indistinguíveis entre si, mas os osciladores são distinguíveis (ou seja,
é diferente de ). - Uma maneira prática de pensar: distribuir 2 “estrelas” (
) entre 4 caixas; entre as caixas colocam-se 3 “barreiras” ( ) para separar as caixas. Isso é o famoso argumento “stars and bars” (estrelas e barras), que leva à fórmula
Aqui
é o número de microestados,
é o número de osciladores e
é o número de quanta. A ideia: posicionar
estrelas em uma fila com
divisores é equivalente a escolher quais
posições dentre
estarão ocupadas por estrelas, daí o binomial acima.
Passo 3
Vamos enumerar sistematicamente todas as soluções inteiras não negativas de
Estratégia de enumeração prática (faça assim na prova para não esquecer nenhum):
- Caso A: um único oscilador recebe ambos os dois quanta (
), os outros recebem . Existem escolhas (escolher qual oscilador recebe os 2). - Caso B: dois osciladores distintos recebem
cada um, os outros dois recebem . Existem escolhas (escolher quais dois osciladores recebem 1).
Somando os casos:
. Agora escrevo todos explicitamente (para conferência e para treinar a listagem cuidadosa):
Caso A (um oscilador com 2):
Caso B (dois osciladores com 1 cada):
Verificação rápida que não há repetições e que cada tupla soma 2.
Passo 4
Agora verifico a fórmula do “stars and bars”:
Substituindo
e
:
Calculo do binomial:
Isso coincide com a contagem feita no Passo 3 (
microestados), portanto a fórmula está verificada para este caso.
Passo 5
Resumo pedagógico e dica de prova:
- Para pequenas
é muito prático enumerar por casos (como fiz: um oscilador com 2, ou dois osciladores com 1). - Para
maiores, use diretamente e, se precisar, justifique rapidamente com a ideia das “estrelas e barras”. - Fica a dica: conte por casos ou use combinatória; sempre escreva explicitamente as soluções quando
e são pequenos para evitar dúvida.
Resposta
Microestados:
Número de microestados:
Verificação pela fórmula:
Número de microestados:
Verificação pela fórmula: