Para um sólido de Einstein com cada um dos seguintes valores de N e q , liste todos os microestados possíveis, conte-os, e verifique a fórmula determinada em sala.
c-) \mathrm{N}=4, \mathrm{q}=2;

Passo 1

O enunciado pede, para um sólido de Einstein com \mathrm{N}=4 osciladores e \mathrm{q}=2 quanta de energia, que eu:
  • liste todos os microestados possíveis;
  • conte (ou seja, determine o número total de microestados);
  • verifique a fórmula dada em sala para o número de microestados.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • \mathrm{N}=4 (há 4 osciladores distinguíveis).
  • \mathrm{q}=2 (há 2 quanta de energia indistinguíveis a distribuir).
  • Um microestado é uma atribuição dos quanta aos osciladores; pode ser representado por um 4-tuplo \left(n_{1},n_{2},n_{3},n_{4}\right) de inteiros não negativos tal que
n_{1}+n_{2}+n_{3}+n_{4}=2.

Passo 2

Antes de enumerar, vamos entender claramente a regra de contagem (vou explicar como pensar na prova):
  • Cada microestado é uma solução inteira não negativa da equação \;n_{1}+n_{2}+n_{3}+n_{4}=2\;.
  • Os quanta são indistinguíveis entre si, mas os osciladores são distinguíveis (ou seja, (2,0,0,0) é diferente de (0,2,0,0)).
  • Uma maneira prática de pensar: distribuir 2 “estrelas” ( \star) entre 4 caixas; entre as caixas colocam-se 3 “barreiras” ( |) para separar as caixas. Isso é o famoso argumento “stars and bars” (estrelas e barras), que leva à fórmula
\Omega(N,q)=\binom{q+N-1}{q}.
Aqui \Omega(N,q) é o número de microestados, N é o número de osciladores e q é o número de quanta. A ideia: posicionar q estrelas em uma fila com N-1 divisores é equivalente a escolher quais q posições dentre q+N-1 estarão ocupadas por estrelas, daí o binomial acima.

Passo 3

Vamos enumerar sistematicamente todas as soluções inteiras não negativas de
n_{1}+n_{2}+n_{3}+n_{4}=2.
Estratégia de enumeração prática (faça assim na prova para não esquecer nenhum):
  • Caso A: um único oscilador recebe ambos os dois quanta ( 2), os outros recebem 0. Existem \binom{4}{1}=4 escolhas (escolher qual oscilador recebe os 2).
  • Caso B: dois osciladores distintos recebem 1 cada um, os outros dois recebem 0. Existem \binom{4}{2}=6 escolhas (escolher quais dois osciladores recebem 1).
Somando os casos: 4+6=10. Agora escrevo todos explicitamente (para conferência e para treinar a listagem cuidadosa):
Caso A (um oscilador com 2):
(2,0,0,0),\qquad (0,2,0,0),\qquad (0,0,2,0),\qquad (0,0,0,2).
Caso B (dois osciladores com 1 cada):
(1,1,0,0),\qquad (1,0,1,0),\qquad (1,0,0,1),\qquad (0,1,1,0),\qquad (0,1,0,1),\qquad (0,0,1,1).
Verificação rápida que não há repetições e que cada tupla soma 2.

Passo 4

Agora verifico a fórmula do “stars and bars”:
\Omega(N,q)=\binom{q+N-1}{q}.
Substituindo N=4 e q=2:
\Omega(4,2)=\binom{2+4-1}{2}=\binom{5}{2}.
Calculo do binomial:
\binom{5}{2}=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=10.
Isso coincide com a contagem feita no Passo 3 ( 10 microestados), portanto a fórmula está verificada para este caso.

Passo 5

Resumo pedagógico e dica de prova:
  • Para pequenas q é muito prático enumerar por casos (como fiz: um oscilador com 2, ou dois osciladores com 1).
  • Para q maiores, use diretamente \Omega(N,q)=\binom{q+N-1}{q} e, se precisar, justifique rapidamente com a ideia das “estrelas e barras”.
  • Fica a dica: conte por casos ou use combinatória; sempre escreva explicitamente as soluções quando q e N são pequenos para evitar dúvida.

Resposta

Microestados: (2,0,0,0),\\ (0,2,0,0),\\ (0,0,2,0),\\ (0,0,0,2),\\ (1,1,0,0),\\ (1,0,1,0),\\ (1,0,0,1),\\ (0,1,1,0),\\ (0,1,0,1),\\ (0,0,1,1)
Número de microestados: \Omega(4,2)=10
Verificação pela fórmula: \binom{2+4-1}{2}=\binom{5}{2}=10

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