Para um sólido de Einstein com cada um dos seguintes valores de N e q , liste todos os microestados possíveis, conte-os, e verifique a fórmula determinada em sala.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados ele dá:
- Dados:
(três osciladores) e (quatro quanta de energia). - Perguntas:
- Listar todos os microestados possíveis (cada microestado é uma distribuição dos
quanta entre os osciladores). - Contar quantos microestados existem.
- Verificar a fórmula determinada em sala para o número de microestados.
- Listar todos os microestados possíveis (cada microestado é uma distribuição dos
Informação implícita, que vamos usar: cada microestado pode ser representado por um triplete
onde cada
é um inteiro não negativo e
Passo 2
O que é um microestado (explicação didática, passo a passo, sem pular etapas)
- Microestado: uma atribuição específica de quantos quanta cada oscilador tem. Como os osciladores são distinguíveis,
é diferente de . - Macroestado: caracterizado pelo número total
(a soma), mas vários microestados podem corresponder ao mesmo macroestado. - Objetivo prático: encontrar todas as soluções inteiras não negativas da equação
Isso é um problema clássico de “partição com ordem” ou de “composição” com partes não negativas.
Passo 3
Método sistemático para listar todos os microestados (estratégia que você pode usar na prova)
- Varre-se um dos índices (por exemplo
) de até . - Para cada valor fixo de
, varre-se de até . - O valor de
fica determinado por . - Esse processo garante que não se esqueça de nenhum caso e evita duplicação.
Passo 4
Listagem dos microestados com
Com
temos
. Os pares
possíveis são:
.
Logo os microestados são:
Logo os microestados são:
Isso fornece
microestados quando
.
Passo 5
Listagem dos microestados com
Com
temos
. Os pares
possíveis são:
.
Logo os microestados são:
Logo os microestados são:
Isso fornece
microestados quando
.
Passo 6
Listagem dos microestados com
Com
temos
. Os pares
possíveis são:
.
Logo:
Logo:
Isso fornece
microestados quando
.
Passo 7
Listagem dos microestados com
Com
temos
. Os pares possíveis são:
.
Logo:
Logo:
Isso fornece
microestados quando
.
Passo 8
Listagem dos microestados com
Com
temos
. Só há o par
.
Logo:
Logo:
Isso fornece
microestado quando
.
Passo 9
Contagem total reunindo todos os casos e listando tudo junto
Somando as quantidades por bloco:
.
Lista completa dos microestados (cada termo em
somando
):
Lista completa dos
Passo 10
Verificação da fórmula combinatória (explicação e cálculo passo a passo)
- Fórmula conhecida (a usar na prova): para um sólido de Einstein com
osciladores e quanta,
- Interpretação rápida (estrelas e barras): distribuir
indistinguíveis (estrelas) em caixas distinguíveis é equivalente a arranjar estrelas e barras numa fila; o número de arranjos é escolher posições para as barras entre as lugares, ou escolher posições para as estrelas — ambas dão o mesmo binomial. - Aplicando com
e :
- Calculemos a combinação:
- A conta confirma o número que encontramos listando tudo.
Passo 11
Exemplo de correspondência estrela/barra para fixar a ideia (um caso concreto)
- Tomemos a sequência de símbolos onde
é um quantum e separa os osciladores. - Por exemplo a sequência
corresponde ao microestado
: dois quanta no oscilador 1, um no 2 e um no 3.
- Há
posições e deve-se escolher posições para as barras, o que dá arranjos distintos.
Resposta
Microestados:
Quantidade:
Verificação:
Quantidade:
Verificação: