Para um sólido de Einstein com cada um dos seguintes valores de N e q , liste todos os microestados possíveis, conte-os, e verifique a fórmula determinada em sala.
\mathrm{a}-) \mathrm{N}=3, \mathrm{q}=4 ;

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados ele dá:
  • Dados: N=3 (três osciladores) e q=4 (quatro quanta de energia).
  • Perguntas:
    1. Listar todos os microestados possíveis (cada microestado é uma distribuição dos q quanta entre os N osciladores).
    2. Contar quantos microestados existem.
    3. Verificar a fórmula determinada em sala para o número de microestados.
Informação implícita, que vamos usar: cada microestado pode ser representado por um triplete (n_1,n_2,n_3) onde cada n_i é um inteiro não negativo e
n_1+n_2+n_3=4.

Passo 2

O que é um microestado (explicação didática, passo a passo, sem pular etapas)
  • Microestado: uma atribuição específica de quantos quanta cada oscilador tem. Como os osciladores são distinguíveis, (2,1,1) é diferente de (1,2,1).
  • Macroestado: caracterizado pelo número total q (a soma), mas vários microestados podem corresponder ao mesmo macroestado.
  • Objetivo prático: encontrar todas as soluções inteiras não negativas da equação
n_1+n_2+n_3=4.
Isso é um problema clássico de “partição com ordem” ou de “composição” com partes não negativas.

Passo 3

Método sistemático para listar todos os microestados (estratégia que você pode usar na prova)
  • Varre-se um dos índices (por exemplo n_1) de 0 até 4.
  • Para cada valor fixo de n_1, varre-se n_2 de 0 até 4-n_1.
  • O valor de n_3 fica determinado por n_3=4-n_1-n_2.
  • Esse processo garante que não se esqueça de nenhum caso e evita duplicação.

Passo 4

Listagem dos microestados com n_1=0
Com n_1=0 temos n_2+n_3=4. Os pares (n_2,n_3) possíveis são:
(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0).
Logo os microestados são:
(0,0,4),\\ (0,1,3),\\ (0,2,2),\\ (0,3,1),\\ (0,4,0).
Isso fornece 5 microestados quando n_1=0.

Passo 5

Listagem dos microestados com n_1=1
Com n_1=1 temos n_2+n_3=3. Os pares (n_2,n_3) possíveis são:
(0,3),(1,2),(2,1),(3,0).
Logo os microestados são:
(1,0,3),\\ (1,1,2),\\ (1,2,1),\\ (1,3,0).
Isso fornece 4 microestados quando n_1=1.

Passo 6

Listagem dos microestados com n_1=2
Com n_1=2 temos n_2+n_3=2. Os pares (n_2,n_3) possíveis são:
(0,2),(1,1),(2,0).
Logo:
(2,0,2),\\ (2,1,1),\\ (2,2,0).
Isso fornece 3 microestados quando n_1=2.

Passo 7

Listagem dos microestados com n_1=3
Com n_1=3 temos n_2+n_3=1. Os pares possíveis são:
(0,1),(1,0).
Logo:
(3,0,1),\\ (3,1,0).
Isso fornece 2 microestados quando n_1=3.

Passo 8

Listagem dos microestados com n_1=4
Com n_1=4 temos n_2+n_3=0. Só há o par (0,0).
Logo:
(4,0,0).
Isso fornece 1 microestado quando n_1=4.

Passo 9

Contagem total reunindo todos os casos e listando tudo junto
Somando as quantidades por bloco: 5+4+3+2+1=15.
Lista completa dos 15 microestados (cada termo em \mathbb{Z}_{\ge0}^3 somando 4):
(0,0,4),\\ (0,1,3),\\ (0,2,2),\\ (0,3,1),\\ (0,4,0),
(1,0,3),\\ (1,1,2),\\ (1,2,1),\\ (1,3,0),
(2,0,2),\\ (2,1,1),\\ (2,2,0),
(3,0,1),\\ (3,1,0),
(4,0,0).

Passo 10

Verificação da fórmula combinatória (explicação e cálculo passo a passo)
  • Fórmula conhecida (a usar na prova): para um sólido de Einstein com N osciladores e q quanta,
\Omega(N,q)=\binom{q+N-1}{q}.
  • Interpretação rápida (estrelas e barras): distribuir q indistinguíveis (estrelas) em N caixas distinguíveis é equivalente a arranjar q estrelas e N-1 barras numa fila; o número de arranjos é escolher posições para as barras entre as q+N-1 lugares, ou escolher posições para as estrelas — ambas dão o mesmo binomial.
  • Aplicando com N=3 e q=4:
\Omega(3,4)=\binom{4+3-1}{4}=\binom{6}{4}.
  • Calculemos a combinação:
\binom{6}{4}=\frac{6!}{4!\,2!}=\frac{6\cdot5}{2}=15.
  • A conta confirma o número que encontramos listando tudo.

Passo 11

Exemplo de correspondência estrela/barra para fixar a ideia (um caso concreto)
  • Tomemos a sequência de símbolos onde * é um quantum e | separa os osciladores.
  • Por exemplo a sequência
**|*|*
corresponde ao microestado (2,1,1): dois quanta no oscilador 1, um no 2 e um no 3.
  • q+N-1=6 posições e deve-se escolher N-1=2 posições para as barras, o que dá \binom{6}{2}=\binom{6}{4}=15 arranjos distintos.

Resposta

Microestados: (0,0,4),\\ (0,1,3),\\ (0,2,2),\\ (0,3,1),\\ (0,4,0),\\ (1,0,3),\\ (1,1,2),\\ (1,2,1),\\ (1,3,0),\\ (2,0,2),\\ (2,1,1),\\ (2,2,0),\\ (3,0,1),\\ (3,1,0),\\ (4,0,0)
Quantidade: 15
Verificação: \Omega(3,4)=\binom{4+3-1}{4}=\binom{6}{4}=15

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