Para um sólido de Einstein com cada um dos seguintes valores de N e q , liste todos os microestados possíveis, conte-os, e verifique a fórmula determinada em sala.
b-) \mathrm{N}=3, \mathrm{q}=5;

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se para listar todos os microestados possíveis, contá-los e verificar a fórmula combinatória que foi determinada em sala.
  • Dados do problema: N=3 (três osciladores distinguíveis) e q=5 (cinco unidades de energia quântica para distribuir).
  • Portanto o objetivo concreto: encontrar todas as tuplas ordenadas (q_1,q_2,q_3) de inteiros não-negativos tais que \,q_1+q_2+q_3=5\,, contar quantas tuplas existem e mostrar que esse número coincide com a fórmula da sala.

Passo 2

Entendendo o que é um microestado (explicação didática e sem pular etapas)
  • Num sólido de Einstein cada oscilador pode absorver um número inteiro não-negativo de quanta de energia. Denotamos por q_i o número de quanta no oscilador i.
  • Um microestado é uma distribuição específica de todas as q unidades de energia entre os N osciladores, ou seja, uma tupla ordenada (q_1,q_2,\dots,q_N) com \sum_{i=1}^{N} q_i = q.
  • Importante: os osciladores são considerados distinguíveis (têm índices diferentes), enquanto os quanta são indistinguíveis. Por isso (2,1,2) é diferente de (1,2,2).

Passo 3

Apresentando a fórmula combinatória (intuição e derivação simples)
  • O problema de distribuir q quanta indistinguíveis em N caixas distinguíveis é equivalente ao clássico problema “stars and bars”.
  • Intuição de stars and bars: representamos as q estrelas \star as unidades de energia colocadas em sequência e usamos N-1 barras | para separar as N caixas. Qualquer sequência formada por q estrelas e N-1 barras corresponde bijetivamente a uma distribuição (q_1,\dots,q_N).
  • O comprimento total da sequência é q+(N-1)=q+N-1. Para especificar uma distribuição basta escolher as posições das q estrelas (ou, equivalentemente, das N-1 barras).
  • Portanto o número de microestados é o número de maneiras de escolher q posições dentre q+N-1, ou seja
\Omega(N,q)=\binom{q+N-1}{q}=\binom{q+N-1}{N-1}.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao caso N=3,\\ q=5
  • Substituindo na fórmula:
\Omega(3,5)=\binom{5+3-1}{5}=\binom{7}{5}=\binom{7}{2}.
  • Cálculo do binomial (usando a forma mais simples):
\binom{7}{2}=\frac{7\cdot6}{2\cdot1}=21.
  • Conclusão preliminar: a fórmula prevê 21 microestados.

Passo 5

Como enumerar sem esquecer nenhum (estratégia prática para a prova)
  • Método seguro: fixar q_1 (valor do primeiro oscilador) variando de 0 até 5. Para cada q_1 enumerar os pares (q_2,q_3) com q_2+q_3=5-q_1. Isso gera todas as tuplas ordenadas sem repetição.
  • Para cada valor de q_1=k 5-k+1 possibilidades para q_2 (de 0 a 5-k), portanto o total será \sum_{k=0}^{5}(5-k+1)=6+5+4+3+2+1=21, consistente com a fórmula.

Passo 6

Enumeração explícita de todos os microestados (lista completa)
  • Vou listar em ordem crescente de q_1. Cada tupla é (q_1,q_2,q_3) com todos os componentes em \mathbb{Z}_{\ge0} e soma 5.
Para q_1=0:
(0,0,5), (0,1,4), (0,2,3), (0,3,2), (0,4,1), (0,5,0).
Para q_1=1:
(1,0,4), (1,1,3), (1,2,2), (1,3,1), (1,4,0).
Para q_1=2:
(2,0,3), (2,1,2), (2,2,1), (2,3,0).
Para q_1=3:
(3,0,2), (3,1,1), (3,2,0).
Para q_1=4:
(4,0,1), (4,1,0).
Para q_1=5:
(5,0,0).

Passo 7

Contagem e verificação final
  • Contando as tuplas listadas: 6+5+4+3+2+1=21.
  • Isso coincide com o valor previsto pela fórmula \Omega(3,5)=\binom{7}{2}=21.
  • Dica rápida para prova: em vez de listar tudo, você pode usar a soma em blocos por q_1 (como acima) ou memorizar diretamente \Omega(N,q)=\binom{q+N-1}{q}.

Resposta

Microestados (todas as tuplas (q_1,q_2,q_3) com soma 5):
(0,0,5)
(0,1,4)
(0,2,3)
(0,3,2)
(0,4,1)
(0,5,0)
(1,0,4)
(1,1,3)
(1,2,2)
(1,3,1)
(1,4,0)
(2,0,3)
(2,1,2)
(2,2,1)
(2,3,0)
(3,0,2)
(3,1,1)
(3,2,0)
(4,0,1)
(4,1,0)
(5,0,0)
Número total de microestados: 21.
Verificação da fórmula: \Omega(3,5)=\binom{5+3-1}{5}=\binom{7}{5}=\binom{7}{2}=21.

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