Para um sólido de Einstein com cada um dos seguintes valores de N e q , liste todos os microestados possíveis, conte-os, e verifique a fórmula determinada em sala.
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Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede-se para listar todos os microestados possíveis, contá-los e verificar a fórmula combinatória que foi determinada em sala.
- Dados do problema:
(três osciladores distinguíveis) e (cinco unidades de energia quântica para distribuir). - Portanto o objetivo concreto: encontrar todas as tuplas ordenadas
de inteiros não-negativos tais que , contar quantas tuplas existem e mostrar que esse número coincide com a fórmula da sala.
Passo 2
Entendendo o que é um microestado (explicação didática e sem pular etapas)
- Num sólido de Einstein cada oscilador pode absorver um número inteiro não-negativo de quanta de energia. Denotamos por
o número de quanta no oscilador . - Um microestado é uma distribuição específica de todas as
unidades de energia entre os osciladores, ou seja, uma tupla ordenada com . - Importante: os osciladores são considerados distinguíveis (têm índices diferentes), enquanto os quanta são indistinguíveis. Por isso
é diferente de .
Passo 3
Apresentando a fórmula combinatória (intuição e derivação simples)
- O problema de distribuir
quanta indistinguíveis em caixas distinguíveis é equivalente ao clássico problema “stars and bars”. - Intuição de stars and bars: representamos as
estrelas as unidades de energia colocadas em sequência e usamos barras para separar as caixas. Qualquer sequência formada por estrelas e barras corresponde bijetivamente a uma distribuição . - O comprimento total da sequência é
. Para especificar uma distribuição basta escolher as posições das estrelas (ou, equivalentemente, das barras). - Portanto o número de microestados é o número de maneiras de escolher
posições dentre , ou seja
Passo 4
Aplicando a fórmula ao caso
- Substituindo na fórmula:
- Cálculo do binomial (usando a forma mais simples):
- Conclusão preliminar: a fórmula prevê
microestados.
Passo 5
Como enumerar sem esquecer nenhum (estratégia prática para a prova)
- Método seguro: fixar
(valor do primeiro oscilador) variando de até . Para cada enumerar os pares com . Isso gera todas as tuplas ordenadas sem repetição. - Para cada valor de
há possibilidades para (de a ), portanto o total será , consistente com a fórmula.
Passo 6
Enumeração explícita de todos os microestados (lista completa)
- Vou listar em ordem crescente de
. Cada tupla é com todos os componentes em e soma .
Para
:
,
,
,
,
,
.
Para
:
,
,
,
,
.
Para
:
,
,
,
.
Para
:
,
,
.
Para
:
,
.
Para
:
.
Passo 7
Contagem e verificação final
- Contando as tuplas listadas:
. - Isso coincide com o valor previsto pela fórmula
. - Dica rápida para prova: em vez de listar tudo, você pode usar a soma em blocos por
(como acima) ou memorizar diretamente .
Resposta
Microestados (todas as tuplas
com soma
):
Número total de microestados:
.
Verificação da fórmula:
.