A solução da equação na variável real
é um número
a) primo.
b) par.
c) negativo.
d) Irracional.
a) primo.
b) par.
c) negativo.
d) Irracional.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, na variável real, a equação
e então identificar qual das alternativas é verdadeira sobre a solução:
a) primo.
b) par.
c) negativo.
d) irracional.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a variável é um número real e a expressão do logaritmo tem base e argumento
.
a) primo.
b) par.
c) negativo.
d) irracional.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a variável é um número real e a expressão do logaritmo tem base
Passo 2
Lembrete importante sobre logaritmos (fórmula que vamos usar): para números reais positivos com base diferente de
, vale a equivalência
onde
é a base do logaritmo (tem que satisfazer
e
) e
é o argumento do logaritmo (tem que satisfazer
). Aqui
corresponde a
e
corresponde a
.
Passo 3
Aplicando a equivalência da definição do logaritmo à equação
, obtemos a equação exponencial correspondente:
Passo 4
Colocando tudo num lado para resolver como equação polinomial:
Explico como fatorar: procuramos dois números cujo produto seja
(termo constante) e cuja soma seja
(coeficiente de
). Esses números são
e
, logo a fatoração fica abaixo.
Passo 5
Fatorando o polinômio:
Pelo princípio do produto zero, as soluções da equação quadrática são
Passo 6
Agora precisamos checar quais dessas raízes são válidas na equação original com logaritmo, lembrando as restrições: a base
deve satisfazer
e
; o argumento
deve satisfazer
. Da soma dessas condições temos:
e também
Portanto a base exige
. Das raízes encontradas,
satisfaz
e
, enquanto
não satisfaz
(base negativa não é permitida). Assim
é descartado.
Passo 7
Verificação rápida da solução válida: para
,
porque
. Logo
é realmente solução. Agora classificamos
em relação às alternativas:
é um número inteiro positivo e não é par;
é primo (divisores positivos:
e
);
não é negativo;
é racional (é inteiro), portanto não é irracional. Portanto a alternativa correta é a) primo.
Resposta
a) primo.