A solução da equação na variável real \mathrm{x}, \log _{x}(x+6)=2 é um número
a) primo.
b) par.
c) negativo.
d) Irracional.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, na variável real, a equação \log_{x}(x+6)=2 e então identificar qual das alternativas é verdadeira sobre a solução:
a) primo.
b) par.
c) negativo.
d) irracional.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a variável é um número real e a expressão do logaritmo tem base x e argumento x+6.

Passo 2

Lembrete importante sobre logaritmos (fórmula que vamos usar): para números reais positivos com base diferente de 1, vale a equivalência
\log_{b}(a)=c \iff a=b^{c},
onde b é a base do logaritmo (tem que satisfazer b>0 e b\neq1) e a é o argumento do logaritmo (tem que satisfazer a>0). Aqui b corresponde a x e a corresponde a x+6.

Passo 3

Aplicando a equivalência da definição do logaritmo à equação \log_{x}(x+6)=2, obtemos a equação exponencial correspondente:
x+6 = x^{2}.

Passo 4

Colocando tudo num lado para resolver como equação polinomial:
x^{2} - x - 6 = 0.
Explico como fatorar: procuramos dois números cujo produto seja -6 (termo constante) e cuja soma seja -1 (coeficiente de x). Esses números são -3 e 2, logo a fatoração fica abaixo.

Passo 5

Fatorando o polinômio:
x^{2}-x-6=(x-3)(x+2).
Pelo princípio do produto zero, as soluções da equação quadrática são
x=3 \quad\text{ou}\quad x=-2.

Passo 6

Agora precisamos checar quais dessas raízes são válidas na equação original com logaritmo, lembrando as restrições: a base x deve satisfazer x>0 e x\neq1; o argumento x+6 deve satisfazer x+6>0. Da soma dessas condições temos:
x+6>0 \iff x>-6,
e também
x>0 \text{ e } x\neq1.
Portanto a base exige x>0. Das raízes encontradas, x=3 satisfaz x>0 e x\neq1, enquanto x=-2 não satisfaz x>0 (base negativa não é permitida). Assim x=-2 é descartado.

Passo 7

Verificação rápida da solução válida: para x=3,
\log_{3}(3+6)=\log_{3}(9)=2,
porque 3^{2}=9. Logo x=3 é realmente solução. Agora classificamos x=3 em relação às alternativas: 3 é um número inteiro positivo e não é par; 3 é primo (divisores positivos: 1 e 3); 3 não é negativo; 3 é racional (é inteiro), portanto não é irracional. Portanto a alternativa correta é a) primo.

Resposta

a) primo.

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