Qual é o pH de uma solução de íons de hidrogênio se um eletrodo de \mathrm{H}_{2} é conectado a uma meia-célula de \mathrm{MnO}_{4}{ }^{-} / \mathrm{Mn}^{2+} com \left[\mathrm{MnO}_{4}{ }^{-}\right]=0,034 \mathrm{mol} \mathrm{kg}^{-1} \mathrm{e}\left[\mathrm{Mn}^{2+}\right]=0,288 \mathrm{~mol} \mathrm{~kg}^{-1} ? A força eletromotriz da pilha é \mathbf{1 , 3 7 5 ~ V} a 25^{\circ} \mathrm{C}. Admita que a pressão do \mathrm{H}_{2} é 1 bar.\n\nDado: \mathrm{MnO}_{4}^{-}+8 \mathrm{H}^{+}+5 \mathrm{e}^{-} \rightarrow \mathrm{Mn}^{2+}+4 \mathrm{H}_{2} \mathrm{OE}^{\circ}= 1,507 \mathrm{~V}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, só isso nesta etapa:
  • Pedem o pH de uma solução, ou seja pedem \mathrm{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H}^+].
  • Dados fornecidos:
    • Potencial da pilha (força eletromotriz): E_{\text{cel}} = 1,375\\ \mathrm{V} a 25^\circ\mathrm{C}.
    • Meia-reação (redução) e seu potencial padrão: \mathrm{MnO}_4^- + 8\,\mathrm{H}^+ + 5\,\mathrm{e}^- \rightarrow \mathrm{Mn}^{2+} + 4\,\mathrm{H}_2\mathrm{O},\qquad E^\circ = 1,507\\ \mathrm{V}.
    • Concentrações fornecidas (usar como atividades aproximadas): [\mathrm{MnO}_4^-]=0,034\quad\text{(mol kg}^{-1}\text{)},\qquad [\mathrm{Mn}^{2+}]=0,288\quad\text{(mol kg}^{-1}\text{)}.(Vou tratar esses valores como concentrações/atividades numéricas para o cálculo.)
    • Eletrodo de hidrogênio com pressão p(\mathrm{H}_2)=1\\ \mathrm{bar}.
  • O que precisa ser encontrado: o valor de [\mathrm{H}^+] e daí o \mathrm{pH}.
  • Observação sobre constantes que usarei: temperatura T=25^\circ\mathrm{C}=298,15\\ \mathrm{K}; constantes físicas R (constante dos gases) e F (constante de Faraday).

Passo 2

Breve explicação do método usado (Nernst) e por que ele é apropriado.
  • Em pilhas eletroquímicas, o potencial de cada meia-célula em condições não-padrão é dado pela equação de Nernst. Essa equação relaciona o potencial da meia-reação com o potencial padrão E^\circ, o número de elétrons transferidos n, a temperatura e o quociente de reação Q (que depende das concentrações/pressões).
  • Para uma meia-reação de redução genérica com n elétrons: E = E^\circ - \frac{R T}{n F}\ln Q,onde:
    • E é o potencial da meia-reação nas condições dadas,
    • E^\circ é o potencial padrão (quando todas as atividades = 1),
    • R é a constante dos gases ( 8,3145\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}),
    • T é a temperatura em kelvin,
    • F é a constante de Faraday ( 96485\\ \mathrm{C\,mol^{-1}}),
    • Q é o quociente da reação (produtos^coeficientes / reagentes^coeficientes, excluindo solvente líquido).
  • A força eletromotriz da pilha é a diferença dos potenciais das duas meias-células (cátodo - ânodo): E_{\text{cel}} = E_{\text{cat}} - E_{\text{an}}.
  • Aqui usaremos a meia-reação do permanganato (dada, n=5) e a meia-reação do eletrodo padrão de hidrogênio: 2\mathrm{H}^+ + 2\mathrm{e}^- \rightleftharpoons \mathrm{H}_2(g),\qquad E^\circ = 0\\ \mathrm{V},cuja expressão de Nernst, considerando p(\mathrm{H}_2) e [\mathrm{H}^+], será usada.

Passo 3

Escrever a equação de Nernst para a meia-reação do permanganato (redução) e identificar Q.
  • Meia-reação (redução) dada: \mathrm{MnO}_4^- + 8\,\mathrm{H}^+ + 5\,\mathrm{e}^- \rightarrow \mathrm{Mn}^{2+} + 4\,\mathrm{H}_2\mathrm{O},aqui n=5.
  • O quociente de reação Q (água líquida não aparece) é Q = \frac{[\mathrm{Mn}^{2+}]}{[\mathrm{MnO}_4^-]\,[\mathrm{H}^+]^8}.
  • Aplicando Nernst: E_{\mathrm{Mn}} = E^\circ_{\mathrm{Mn}} - \frac{R T}{5 F}\ln\!\left(\frac{[\mathrm{Mn}^{2+}]}{[\mathrm{MnO}_4^-]\,[\mathrm{H}^+]^8}\right),onde E^\circ_{\mathrm{Mn}}=1,507\\ \mathrm{V}.

Passo 4

Escrever a equação de Nernst para o eletrodo de hidrogênio (meia-reação) e simplificar usando p(\mathrm{H}_2)=1\\ \mathrm{bar}.
  • Meia-reação (redução) do hidrogênio: 2\mathrm{H}^+ + 2\mathrm{e}^- \rightarrow \mathrm{H}_2(g),\qquad n=2,\quad E^\circ=0\\ \mathrm{V}.
  • Quociente Q_{\mathrm{H}} = \dfrac{p(\mathrm{H}_2)}{[\mathrm{H}^+]^2}.
  • Pela equação de Nernst: E_{\mathrm{H}} = 0 - \frac{R T}{2 F}\ln\!\left(\frac{p(\mathrm{H}_2)}{[\mathrm{H}^+]^2}\right).
  • Como p(\mathrm{H}_2)=1\\ \mathrm{bar} (logo \ln p(\mathrm{H}_2)=0), essa expressão simplifica para E_{\mathrm{H}} = \frac{R T}{F}\ln[\mathrm{H}^+].(Explicação rápida: o sinal fica positivo porque o termo -\dfrac{RT}{2F}(-2\ln[\mathrm{H}^+]) = \dfrac{RT}{F}\ln[\mathrm{H}^+].)

Passo 5

Montar a equação da pilha relacionando E_{\text{cel}} às duas meias-reações e isolar [\mathrm{H}^+].
  • Assumindo que o permanganato atua como cátodo (redução) e o hidrogênio como ânodo (oxidação), a força eletromotriz é E_{\text{cel}} = E_{\mathrm{Mn}} - E_{\mathrm{H}}.
  • Substituindo as expressões das etapas anteriores: E_{\text{cel}} = 1,507 - \frac{R T}{5 F}\ln\!\left(\frac{[\mathrm{Mn}^{2+}]}{[\mathrm{MnO}_4^-][\mathrm{H}^+]^8}\right) - \frac{R T}{F}\ln[\mathrm{H}^+].
  • Agrupando os termos que envolvem \ln[\mathrm{H}^+]. Note que -\dfrac{RT}{5F}\ln([\mathrm{H}^+]^{-8}) = \dfrac{RT}{5F}\cdot 8\ln[\mathrm{H}^+]. Somando com -\dfrac{RT}{F}\ln[\mathrm{H}^+] obtemos um coeficiente combinado: \frac{R T}{5 F}\cdot 8 - \frac{R T}{F} = \frac{R T}{F}\left(\frac{8}{5}-1\right)=\frac{R T}{F}\cdot\frac{3}{5}.
  • Reescrevendo e isolando \ln[\mathrm{H}^+]: E_{\text{cel}} = 1,507 - \frac{R T}{5 F}\ln\!\left(\frac{[\mathrm{Mn}^{2+}]}{[\mathrm{MnO}_4^-]}\right) + \frac{R T}{F}\cdot\frac{3}{5}\ln[\mathrm{H}^+].Assim, \frac{R T}{F}\cdot\frac{3}{5}\ln[\mathrm{H}^+] = E_{\text{cel}} - 1,507 + \frac{R T}{5 F}\ln\!\left(\frac{[\mathrm{Mn}^{2+}]}{[\mathrm{MnO}_4^-]}\right).
  • Isolando \ln[\mathrm{H}^+]: \ln[\mathrm{H}^+] = \frac{5 F}{3 R T}\left(E_{\text{cel}} - 1,507\right) + \frac{1}{3}\ln\!\left(\frac{[\mathrm{Mn}^{2+}]}{[\mathrm{MnO}_4^-]}\right).Esta é a fórmula prática que vamos avaliar numericamente.

Passo 6

Avaliar numericamente a expressão para [\mathrm{H}^+] e obter o pH, com detalhes nos cálculos (usar R=8,3145\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}, F=96485\\ \mathrm{C\,mol^{-1}}, T=298,15\\ \mathrm{K}).
  • Primeiro calcule o fator multiplicador: \frac{5 F}{3 R T}=\frac{5\cdot 96485}{3\cdot 8,3145\cdot 298,15}\approx 64,863\\ (\mathrm{V}^{-1}).
  • Diferença de potenciais: E_{\text{cel}}-1,507 = 1,375 - 1,507 = -0,132\\ \mathrm{V}.Logo a primeira parcela é \frac{5 F}{3 R T}\left(E_{\text{cel}} - 1,507\right)\approx 64,863\times(-0,132)\approx -8,562.
  • Segunda parcela: razão de concentrações \frac{[\mathrm{Mn}^{2+}]}{[\mathrm{MnO}_4^-]}=\frac{0,288}{0,034}\approx 8,470588,
\frac{1}{3}\ln\!\left(\frac{[\mathrm{Mn}^{2+}]}{[\mathrm{MnO}_4^-]}\right)=\frac{1}{3}\ln(8,470588)\approx\frac{1}{3}\times 2,13665\approx 0,71222.
  • Somando as parcelas: \ln[\mathrm{H}^+] \approx -8,562 + 0,71222 \approx -7,8498.
  • Converter para \mathrm{pH}: \log_{10}[\mathrm{H}^+] = \frac{\ln[\mathrm{H}^+]}{\ln 10} \approx \frac{-7,8498}{2,302585}\approx -3,409,portanto \mathrm{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H}^+] \approx 3,409 \approx 3,41.

Resposta

\mathrm{pH} \approx 3,41

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