Solucione os problemas a seguir:
d) (BNB-2003) Um operário foi contratado para trabalhar por 90 dias, ganhando diariamente, o valor em reais, igual ao número de dias trabalhados. Quanto esse operário ganhou ao terminar seu trabalho ?

Passo 1

O enunciado diz: um operário trabalhou por 90 dias e, a cada dia k (contando a partir de 1), recebeu, em reais, exatamente o número k. A pergunta é: quanto ele ganhou ao terminar os 90 dias?
Informações relevantes dadas:
  • Número total de dias: 90.
  • Pagamento diário: no dia k ele recebe k reais, para k=1,2,\dots,90.
  • O que se pede: o total recebido ao final do período, isto é o somatório dos pagamentos diários.

Passo 2

Vamos escrever isso de forma matemática: o total S que ele recebeu é a soma
S = 1 + 2 + 3 + \cdots + 89 + 90.
Também podemos usar a notação de soma:
S = \sum_{k=1}^{90} k.
Aqui:
  • S é o total recebido (em reais),
  • k representa o número do dia (e o valor, em reais, pago nesse dia),
  • o somatório vai de k=1 até k=90.

Passo 3

Para calcular S usamos uma técnica clássica (o “truque de Gauss”): escrevemos a soma normalmente e depois escrita ao contrário e somamos termo a termo.
Escrevendo a soma original:
S = 1 + 2 + 3 + \cdots + 89 + 90.
Escrevendo-a em ordem inversa:
S = 90 + 89 + 88 + \cdots + 2 + 1.
Somando as duas linhas termo a termo obtemos:
2S = (1+90) + (2+89) + (3+88) + \cdots + (89+2) + (90+1).

Passo 4

Observa que cada par tem soma igual a 91:
1+90 = 91,\quad 2+89 = 91,\quad 3+88 = 91,\\ \ldots
Como há 90 termos na soma original, ao parear temos exatamente 45 pares. Portanto
2S = 90 \times 91.
Agora isolamos S:
S = \frac{90\times 91}{2}.

Passo 5

Simplificamos a expressão:
S = 45 \times 91.
Calculando 45\times 91:
45\times 91 = 45\times(100-9)=45\times100 - 45\times9 = 4500 - 405 = 4095.
Logo o total recebido é 4095 reais.

Passo 6

Uma forma geral, que resume o mesmo raciocínio, é a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética quando conhecemos o primeiro termo a_1, o último termo a_n e o número de termos n:
S_n = n\cdot\frac{a_1 + a_n}{2}.
No nosso caso a_1=1, a_n=90, n=90, então
S_{90}=90\cdot\frac{1+90}{2}=\frac{90\cdot91}{2}=4095,
confirmando o resultado. Exemplo curto para fixar: a soma de 1 a 10 10\cdot(1+10)/2=55.

Resposta

\text{R\$ }4095

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