Solucione os problemas a seguir:
d) (BNB-2003) Um operário foi contratado para trabalhar por 90 dias, ganhando diariamente, o valor em reais, igual ao número de dias trabalhados. Quanto esse operário ganhou ao terminar seu trabalho ?
d) (BNB-2003) Um operário foi contratado para trabalhar por 90 dias, ganhando diariamente, o valor em reais, igual ao número de dias trabalhados. Quanto esse operário ganhou ao terminar seu trabalho ?
Passo 1
O enunciado diz: um operário trabalhou por
dias e, a cada dia
(contando a partir de
), recebeu, em reais, exatamente o número
. A pergunta é: quanto ele ganhou ao terminar os
dias?
Informações relevantes dadas:
- Número total de dias:
. - Pagamento diário: no dia
ele recebe reais, para . - O que se pede: o total recebido ao final do período, isto é o somatório dos pagamentos diários.
Passo 2
Vamos escrever isso de forma matemática: o total
que ele recebeu é a soma
Também podemos usar a notação de soma:
Aqui:
-
é o total recebido (em reais), -
representa o número do dia (e o valor, em reais, pago nesse dia), - o somatório vai de
até .
Passo 3
Para calcular
usamos uma técnica clássica (o “truque de Gauss”): escrevemos a soma normalmente e depois escrita ao contrário e somamos termo a termo.
Escrevendo a soma original:
Escrevendo-a em ordem inversa:
Somando as duas linhas termo a termo obtemos:
Passo 4
Observa que cada par tem soma igual a
:
Como há
termos na soma original, ao parear temos exatamente
pares. Portanto
Agora isolamos
:
Passo 5
Simplificamos a expressão:
Calculando
:
Logo o total recebido é
reais.
Passo 6
Uma forma geral, que resume o mesmo raciocínio, é a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética quando conhecemos o primeiro termo
, o último termo
e o número de termos
:
No nosso caso
,
,
, então
confirmando o resultado. Exemplo curto para fixar: a soma de
a
dá
.