Solucione os problemas a seguir:
c) Uma progressão aritmética \left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right) satisfaz a propriedade: para cada n \in \mathbb{N}, a soma da progressão é dada por S_{n}=2 n^{2}+5 n. Encontre o valor de a_{n} tal que S_{n} seja igual a 250 .

Passo 1

O enunciado dá uma progressão aritmética \left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\right) cuja soma dos n primeiros termos é
S_{n}=2n^{2}+5n,
válida para todo n\in\mathbb{N}. A pergunta é: encontrar o valor de a_{n} correspondente ao caso em que S_{n}=250.
Informações relevantes:
  • Fórmula dada: S_{n}=2n^{2}+5n.
  • Queremos o termo a_{n} quando a soma S_{n} vale 250.
  • n deve ser um número natural (ou seja, n\in\{1,2,3,\dots\}).

Passo 2

Idéia-chave (fórmula útil): se S_{n} é a soma dos n primeiros termos de qualquer sequência (em especial de uma PA), o n-ésimo termo pode ser obtido por subtração:
a_{n}=S_{n}-S_{n-1}.
Explicando didaticamente: S_{n} soma os termos a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}. Já S_{n-1} soma a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n-1}. Ao subtrair, sobra exatamente a_{n}. Isso vale para toda sequência onde as somas são bem definidas.
Vamos aplicar essa fórmula usando a expressão fornecida para S_{n}. Primeiro escrevemos S_{n-1}:
S_{n-1}=2(n-1)^{2}+5(n-1).
Agora fazemos a diferença:
\begin{aligned} a_{n}&=S_{n}-S_{n-1}\\[4pt] &=\bigl(2n^{2}+5n\bigr)-\bigl(2(n-1)^{2}+5(n-1)\bigr). \end{aligned}]

Passo 3

Vamos simplificar a expressão acima passo a passo:
2(n-1)^{2}=2(n^{2}-2n+1)=2n^{2}-4n+2,
e
5(n-1)=5n-5.
Logo
S_{n-1}=2n^{2}-4n+2+5n-5=2n^{2}+n-3.
Substituindo em a_{n}=S_{n}-S_{n-1}:
\begin{aligned} a_{n}&=(2n^{2}+5n)-(2n^{2}+n-3)\\[4pt] &=2n^{2}+5n-2n^{2}-n+3\\[4pt] &=4n+3. \end{aligned}
Portanto obtivemos a fórmula geral do termo n-ésimo:
a_{n}=4n+3.]

Passo 4

Agora precisamos do a_{n} quando S_{n}=250. Primeiro encontramos o n correspondente resolvendo
2n^{2}+5n=250.
Colocando tudo num lado:
2n^{2}+5n-250=0.
É uma equação quadrática; calculamos o discriminante:
\Delta=5^{2}-4\cdot 2\cdot(-250)=25+2000=2025=45^{2}.
As raízes são
n=\frac{-5\pm45}{2\cdot2}=\frac{-5\pm45}{4}.
As duas raízes são \dfrac{-5+45}{4}=\dfrac{40}{4}=10 e \dfrac{-5-45}{4}=\dfrac{-50}{4}=-12{,}5. Como n deve ser natural, tomamos n=10.

Passo 5

Agora substituímos n=10 na expressão de a_{n} que encontramos:
a_{10}=4\cdot10+3=40+3=43.
Como verificação rápida: com a_{n}=4n+3 temos a_{1}=7 e razão d=4; a soma dos 10 primeiros termos da PA é
S_{10}=2\cdot10^{2}+5\cdot10=200+50=250,
concordando com a condição do problema.

Resposta

a_{10}=43

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