Solucione os problemas a seguir:
c) Uma progressão aritmética
satisfaz a propriedade: para cada
, a soma da progressão é dada por
. Encontre o valor de
tal que
seja igual a 250 .
c) Uma progressão aritmética
Passo 1
O enunciado dá uma progressão aritmética
cuja soma dos
primeiros termos é
válida para todo
. A pergunta é: encontrar o valor de
correspondente ao caso em que
.
Informações relevantes:
- Fórmula dada:
. - Queremos o termo
quando a soma vale . -
deve ser um número natural (ou seja, ).
Passo 2
Idéia-chave (fórmula útil): se
é a soma dos
primeiros termos de qualquer sequência (em especial de uma PA), o
-ésimo termo pode ser obtido por subtração:
Explicando didaticamente:
soma os termos
. Já
soma
. Ao subtrair, sobra exatamente
. Isso vale para toda sequência onde as somas são bem definidas.
Vamos aplicar essa fórmula usando a expressão fornecida para
. Primeiro escrevemos
:
Agora fazemos a diferença:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão acima passo a passo:
e
Logo
Substituindo em
:
Portanto obtivemos a fórmula geral do termo
-ésimo:
Passo 4
Agora precisamos do
quando
. Primeiro encontramos o
correspondente resolvendo
Colocando tudo num lado:
É uma equação quadrática; calculamos o discriminante:
As raízes são
As duas raízes são
e
. Como
deve ser natural, tomamos
.
Passo 5
Agora substituímos
na expressão de
que encontramos:
Como verificação rápida: com
temos
e razão
; a soma dos 10 primeiros termos da PA é
concordando com a condição do problema.