Solucione os problemas a seguir:
b) Quantos são os termos comuns às Progressões Aritméticas
e
b) Quantos são os termos comuns às Progressões Aritméticas
Passo 1
O enunciado dá duas progressões aritméticas e pede a quantidade de termos que são comuns a ambas. Informações fornecidas:
- Primeira PA:
. - termo inicial
e razão . - último termo mostrado é
.
- termo inicial
- Segunda PA:
. - termo inicial
e razão . - último termo mostrado é
.
- termo inicial
O que se pergunta: “Quantos termos são comuns às duas PAs?”
Passo 2
Escrevo a forma geral dos termos de cada PA e explico a fórmula usada.
Fórmula (lembrando): o
-ésimo termo de uma PA com primeiro termo
e razão
é
onde
significa "o termo de índice
". Aqui:
- Para a primeira PA qualquer termo tem a forma
, com inteiro . - Para a segunda PA qualquer termo tem a forma
, com inteiro .
Um número é comum às duas se pode ser escrito simultaneamente nessas duas formas.
Passo 3
Vou transformar isso em congruências (uma forma simples e prática para identificar números que aparecem em ambas as PAs).
Se
pertence à primeira PA então
Se
pertence à segunda PA então
Como
, as duas condições ficam
Quando um inteiro tem o mesmo resto
ao ser dividido por
e por
, ele tem resto
ao ser dividido por
. Logo todos os termos comuns têm a forma
com
inteiro
. (Isto é consequência do princípio chinês dos restos simplificado: se os restos são iguais, o módulo é o mínimo múltiplo comum.)
Passo 4
Agora imponho as restrições de intervalo: o termo comum deve estar dentro dos limites de ambas as PAs. A segunda PA vai até
, que é o limite mais restritivo (pois
). Portanto procuro
inteiros tais que
Verifico o menor
: para
temos
, mas
então não pertence à segunda PA. Para
obtemos
que é
e aparece em ambas as PAs (de fato
está explicitado na segunda PA). Assim o primeiro termo comum é
.
Passo 5
Encontro o maior
tal que
. Faço o cálculo
Como
é inteiro, o maior
possível é
. O último termo comum é
Verifico:
e
, e
realmente pertence às duas PAs.
Passo 6
Os termos comuns formam uma PA com primeiro termo
, razão
e último termo
. Para contar quantos termos tem uma PA com primeiro termo
, razão
e último termo
usa-se
onde
é o número de termos (esta fórmula vem de inverter
).
Aqui:
Alternativamente, como
variou de
a
, houve
valores de
.
Passo 7
Portanto há
termos comuns às duas progressões.
Resposta
10