Solucione os problemas a seguir:
b) Quantos são os termos comuns às Progressões Aritméticas (2,5,8,11, \ldots, 332) e (7,12,17,22, \ldots, 157) ?

Passo 1

O enunciado dá duas progressões aritméticas e pede a quantidade de termos que são comuns a ambas. Informações fornecidas:
  • Primeira PA: 2,5,8,11,\ldots,332.
    • termo inicial a_1=2 e razão d_1=3.
    • último termo mostrado é 332.
  • Segunda PA: 7,12,17,22,\ldots,157.
    • termo inicial b_1=7 e razão d_2=5.
    • último termo mostrado é 157.
O que se pergunta: “Quantos termos são comuns às duas PAs?”

Passo 2

Escrevo a forma geral dos termos de cada PA e explico a fórmula usada.
Fórmula (lembrando): o n-ésimo termo de uma PA com primeiro termo a_1 e razão d é
a_n = a_1 + (n-1)d,
onde a_n significa "o termo de índice n". Aqui:
  • Para a primeira PA qualquer termo tem a forma \,x = 2 + 3m, com m inteiro \ge 0.
  • Para a segunda PA qualquer termo tem a forma \,x = 7 + 5n, com n inteiro \ge 0.
Um número é comum às duas se pode ser escrito simultaneamente nessas duas formas.

Passo 3

Vou transformar isso em congruências (uma forma simples e prática para identificar números que aparecem em ambas as PAs).
Se x pertence à primeira PA então
x \equiv 2 \pmod{3}.
Se x pertence à segunda PA então
x \equiv 7 \pmod{5}.
Como 7 \equiv 2 \pmod{5}, as duas condições ficam
x \equiv 2 \pmod{3}\quad\text{e}\quad x \equiv 2 \pmod{5}.
Quando um inteiro tem o mesmo resto 2 ao ser dividido por 3 e por 5, ele tem resto 2 ao ser dividido por \mathrm{mmc}(3,5)=15. Logo todos os termos comuns têm a forma
x = 2 + 15k,
com k inteiro \ge 0. (Isto é consequência do princípio chinês dos restos simplificado: se os restos são iguais, o módulo é o mínimo múltiplo comum.)

Passo 4

Agora imponho as restrições de intervalo: o termo comum deve estar dentro dos limites de ambas as PAs. A segunda PA vai até 157, que é o limite mais restritivo (pois 157<332). Portanto procuro k inteiros tais que
7 \le x = 2 + 15k \le 157.
Verifico o menor k: para k=0 temos x=2, mas 2<7 então não pertence à segunda PA. Para k=1 obtemos
x = 2 + 15\cdot 1 = 17,
que é \ge 7 e aparece em ambas as PAs (de fato 17 está explicitado na segunda PA). Assim o primeiro termo comum é 17.

Passo 5

Encontro o maior k tal que 2+15k \le 157. Faço o cálculo
k \le \frac{157-2}{15} = \frac{155}{15} = 10{,} \overline{3}.
Como k é inteiro, o maior k possível é k=10. O último termo comum é
x = 2 + 15\cdot 10 = 152.
Verifico: 152\le 157 e 152\le 332, e 152 realmente pertence às duas PAs.

Passo 6

Os termos comuns formam uma PA com primeiro termo 17, razão 15 e último termo 152. Para contar quantos termos tem uma PA com primeiro termo A, razão r e último termo L usa-se
N = \frac{L-A}{r} + 1,
onde N é o número de termos (esta fórmula vem de inverter A+(N-1)r=L).
Aqui:
N = \frac{152-17}{15} + 1 = \frac{135}{15} + 1 = 9 + 1 = 10.
Alternativamente, como k variou de 1 a 10, houve 10 valores de k.

Passo 7

Portanto há 10 termos comuns às duas progressões.

Resposta

10

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