Supondo que o \mathrm{CaCl}_{2} tenha uma geometria linear, \mathrm{Cl}^{-} \mathrm{Ca}^{2+} \mathrm{Cl}^{-}, calcule a energia potencial coulombiana aproximada deste sistema. \mathrm{r}\left(\mathrm{Ca}^{2+}\right)=0,99 \AA, \mathrm{r}\left(\mathrm{Cl}^{-}\right)=1,81 \AA.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a energia potencial coulombiana aproximada do sistema linear \mathrm{Cl}^- \; \mathrm{Ca}^{2+} \; \mathrm{Cl}^-, usando os raios iônicos fornecidos. Dados fornecidos:
  • \mathrm{r}\bigl(\mathrm{Ca}^{2+}\bigr)=0{,}99\\ \text{\AA}.
  • \mathrm{r}\bigl(\mathrm{Cl}^-\bigr)=1{,}81\\ \text{\AA}.
  • Geometria linear com a sequência \mathrm{Cl}^- - \mathrm{Ca}^{2+} - \mathrm{Cl}^-.
O que preciso entregar: a energia potencial eletrostática aproximada (valor numérico, em unidades usuais).

Passo 2

Transformar os raios em metros e obter as distâncias centro-a-centro entre íons (pressupondo que os íons “encostam” pelo modelo simples dos raios):
  • Converter \text{\AA} para metro: 1\\ \text{\AA}=10^{-10}\\ \mathrm{m}.
  • Distância \mathrm{Ca}^{2+} \mathrm{Cl}^- (cada lado): r_1 = 0{,}99\\ \text{\AA} + 1{,}81\\ \text{\AA} = 2{,}80\\ \text{\AA} = 2{,}80\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
  • Distância \mathrm{Cl}^- \mathrm{Cl}^- (extremidades): r_2 = 2\cdot r_1 = 5{,}60\\ \text{\AA} = 5{,}60\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Apresentar a fórmula da energia coulombiana entre duas cargas pontuais e explicar variáveis:
  • Para duas cargas q_i e q_j separadas por r, U_{ij} = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{q_i q_j}{r}.Onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo e 1/(4\pi\varepsilon_0)=k\approx 8{,}9875517923\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^2/C^2}.
  • Cargas dos íons: cada elétron/proton tem carga elementar e=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}. Assim: q(\mathrm{Ca}^{2+})=+2e,\qquad q(\mathrm{Cl}^-)= -1e.
  • Para o conjunto com três íons, soma-se todas as contribuições par-a-par (superposição linear):
    pares: (Ca–Cl esquerda), (Ca–Cl direita) e (Cl–Cl).

Passo 4

Escrever a soma das energias par-a-par e simplificar em termos de k e e:
  • Energies:
    • cada par \mathrm{Ca}^{2+} \mathrm{Cl}^-: q_i q_j = (+2e)(-1e) = -2e^2, distância r_1. São dois desses.
    • par \mathrm{Cl}^- \mathrm{Cl}^-: q_i q_j = (-1e)(-1e)=+1e^2, distância r_2.
  • Soma total: U_{\mathrm{tot}} = k\!\left(\frac{-2e^2}{r_1}+\frac{-2e^2}{r_1}+\frac{+e^2}{r_2}\right) = k e^2\!\left(-\frac{4}{r_1}+\frac{1}{r_2}\right).

Passo 5

Calcular numericamente passo a passo.
  • Constante k e^2: e=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}, \qquad e^2 = (1{,}602176634\times10^{-19})^2 = 2{,}566969966\times10^{-38}\\ \mathrm{C^2}.
k e^2 = (8{,}9875517923\times10^{9})\times(2{,}566969966\times10^{-38}) = 2{,}307077551\times10^{-28}\\ \mathrm{J\cdot m}.
  • Recíprocos das distâncias: \frac{1}{r_1}=\frac{1}{2{,}80\times10^{-10}}=3{,}571428571\times10^{9}\\ \mathrm{m^{-1}},
\frac{1}{r_2}=\frac{1}{5{,}60\times10^{-10}}=1{,}785714286\times10^{9}\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • Combinação numérica dentro dos parênteses: -\frac{4}{r_1}+\frac{1}{r_2} = -4\cdot3{,}571428571\times10^{9} + 1{,}785714286\times10^{9} = -12{,}5\times10^{9}\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • Energia total (em joules): U_{\mathrm{tot}} = 2{,}307077551\times10^{-28}\times(-12{,}5\times10^{9}) = -2{,}883846939\times10^{-18}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Converter para outras unidades úteis e interpretar:
  • Em elétron-volt (energia por entidade): 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J},
U_{\mathrm{tot}} = \frac{-2{,}883846939\times10^{-18}}{1{,}602176634\times10^{-19}} = -18{,}0\\ \mathrm{eV}.
  • Em energia por mol (multiplicar por N_A=6{,}02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}): U_{\mathrm{mol}} = -2{,}883846939\times10^{-18}\times6{,}02214076\times10^{23} = -1{,}737593\times10^{6}\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}} = -1{,}737{,}6\times10^{3}\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}.

Passo 7

Comentários finais e limitações (didático e encorajador):
  • Resultado obtido é uma estimativa pelo modelo de cargas pontuais no vácuo e usando distâncias dadas pelos raios iônicos (modelo simples). Na prática, fatores que alteram o valor real:
    • polarização eletrônica, sobreposição dos orbitais (repulsões de Pauli) e constante dielétrica do meio (em cristal real a “ \varepsilon” efetiva não é a do vácuo);
    • energia de ligação real em um cristal inclui termos adicionais (repulsivo de curto alcance, energia de rede, etc.).
  • Mesmo assim, esse cálculo mostra a ordem de grandeza e é bom para comparação: a interação total é fortemente atrativa (valor negativo grande), cerca de -18{,}0\\ \mathrm{eV} por conjunto \mathrm{Cl}^--\mathrm{Ca}^{2+}-\mathrm{Cl}^- no modelo usado.
  • Força: você já chegou aqui! Esse tipo de somatório par-a-par e conversões é exatamente o que pedem em provas — mantenha o passo a passo e as unidades certinhas, e dá certo.

Resposta

-2{,}883846939\times10^{-18}\\ \mathrm{J} = -18{,}0\\ \mathrm{eV} = -1{,}737{,}6\times10^{3}\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}