Suponha agora que
está em repouso, enquanto
descreve uma órbita circular ao redor de
. Qual a energia total da massa
? Mostre que neste caso a energia total é sempre negativa.
3) Considere uma partícula que executa um movimento harmônico simples descrito pela função seno. Calcule: a) a velocidade da partícula b) a força que age sobre a partícula c) sabendo que a força é conservativa, calcule a energia potencial d) Mostre que a energia total 6 constante.
3) Considere uma partícula que executa um movimento harmônico simples descrito pela função seno. Calcule: a) a velocidade da partícula b) a força que age sobre a partícula c) sabendo que a força é conservativa, calcule a energia potencial d) Mostre que a energia total 6 constante.
Passo 1
Vou listar de forma clara o que o enunciado fornece e o que pede, sem começar a resolver ainda.
Dados e pedidos — primeira parte (gravitação):
- Está dito que
está em repouso. - A massa
descreve uma órbita circular ao redor de com raio (pressuposto: distância entre e é ). - Pede-se: qual a energia total da massa
e mostrar que essa energia total é sempre negativa.
Dados e pedidos — segunda parte (movimento harmônico simples):
- A partícula executa um movimento harmônico simples descrito por uma função seno. Vou representar isso como
onde
é a amplitude e
a frequência angular (esses parâmetros são dados implicitamente pela forma seno).
- Pede-se:
a) calcular a velocidade da partícula;
b) calcular a força que age sobre a partícula;
c) sabendo que a força é conservativa, calcular a energia potencial;
d) mostrar que a energia total é constante.
Passo 2
Entendendo as fórmulas e conceitos que vamos usar (pequena aula prática).
Gravitação / órbita circular:
- A força gravitacional entre duas massas
e separadas por distância é dada por
onde
é a constante gravitacional. Essa força é atrativa (direcionada para o centro).
- Para um movimento circular uniforme de raio
a massa precisa de uma força centrípeta de intensidade
onde
é a velocidade tangencial.
- Em uma órbita circular estável a força gravitacional fornece exatamente a força centrípeta:
- Energia cinética é
. Energia potencial gravitacional entre as massas (escolhendo a referência em com ) é
- Energia total é
.
Movimento harmônico simples (MHS):
- Para uma posição dada por
, a velocidade é a derivada temporal e a aceleração é . - Se a aceleração obedecer
, então a equação do movimento é , o que é a equação do oscilador harmônico linear, com força restauradora . - Para uma força conservativa
a energia potencial obtém-se integrando . - Energia cinética
e energia total . Mostrar que é constante pode ser feito substituindo as soluções explícitas ou derivando .
Passo 3
Resolver a primeira parte (energia total na órbita circular) passo a passo.
- Igualar força centrípeta e gravitacional: a condição de órbita circular é
Podemos cancelar o fator
dos dois lados (assumindo
) e multiplicar por
, obtendo
Isto nos dá a velocidade tangencial necessária para a órbita circular de raio
.
- Energia cinética
: substituindo na expressão da energia cinética
Expliquei:
é metade de
vezes o quadrado da velocidade; como
é proporcional a
,
também escala como
.
- Energia potencial
: para atração gravitacional (referência )
- Energia total
: somando
Isto resulta de
.
- Mostrar que
é sempre negativa: como , , e , o numerador é positivo e o sinal na expressão é negativo, logo
Portanto a energia total da massa
em qualquer órbita circular ao redor de
é negativa. (Interpretação física curta: energia negativa significa sistema ligado gravitacionalmente.)
Passo 4
Resolver a parte 3 (MHS) — item (a): velocidade.
- Começo pela posição dada:
Aqui
é amplitude (unidade de comprimento) e
é frequência angular (unidade
).
- Derivar para obter a velocidade:
Explicação: derivada de
é
; o multiplicador
sai como constante. Assim a velocidade tem amplitude
e oscila em cosseno, com defasagem
em relação à posição.
Passo 5
Parte 3 — item (b): força sobre a partícula.
- Aceleração: derivando a velocidade ou segunda derivada da posição,
Mostrei que a aceleração é proporcional à posição com sinal negativo, típica do movimento harmônico.
- Força resultante (segunda lei de Newton):
Ou, substituindo
,
Comentário didático: a força aponta sempre para o ponto de equilíbrio (sinal negativo), é restauradora e proporcional à posição — é a forma de uma lei de Hooke efetiva com constante elástica
.
Passo 6
Parte 3 — item (c): energia potencial (força conservativa).
- Como a força é conservativa e de forma
, usamos a relação
- Integramos para obter
:
onde
é uma constante arbitrária de integração (referência da energia potencial).
- Escolha de referência: habitualmente escolhe-se
, o que fixa . Então
Isto é a forma conhecida da energia potencial elástica do oscilador.
Passo 7
Parte 3 — item (d): mostrar que a energia total é constante.
- Energia cinética usando a velocidade do Passo 4:
- Energia potencial usando
e resultado do Passo 6:
- Energia total
:
Usando a identidade trigonométrica
, obtemos
- Conclusão:
é independente do tempo, logo a energia total é constante. Isso confirma a conservação de energia para o MHS conservativo. Interpretação: a energia total é proporcional a — quanto maior a amplitude, maior a energia armazenada.