Suponha agora que m^{\prime} está em repouso, enquanto m descreve uma órbita circular ao redor de m^{\circ}. Qual a energia total da massa m ? Mostre que neste caso a energia total é sempre negativa.
3) Considere uma partícula que executa um movimento harmônico simples descrito pela função seno. Calcule: a) a velocidade da partícula b) a força que age sobre a partícula c) sabendo que a força é conservativa, calcule a energia potencial d) Mostre que a energia total 6 constante.

Passo 1

Vou listar de forma clara o que o enunciado fornece e o que pede, sem começar a resolver ainda.
Dados e pedidos — primeira parte (gravitação):
  • Está dito que \,m^{\prime}\, está em repouso.
  • A massa \,m\, descreve uma órbita circular ao redor de \,m^{\circ}\, com raio \,r\, (pressuposto: distância entre m e m^{\circ} é \,r>0\,).
  • Pede-se: qual a energia total da massa \,m\, e mostrar que essa energia total é sempre negativa.
Dados e pedidos — segunda parte (movimento harmônico simples):
  • A partícula executa um movimento harmônico simples descrito por uma função seno. Vou representar isso como
x(t)=A\sin(\omega t),
onde A é a amplitude e \omega a frequência angular (esses parâmetros são dados implicitamente pela forma seno).
  • Pede-se:
    a) calcular a velocidade da partícula;
    b) calcular a força que age sobre a partícula;
    c) sabendo que a força é conservativa, calcular a energia potencial;
    d) mostrar que a energia total é constante.

Passo 2

Entendendo as fórmulas e conceitos que vamos usar (pequena aula prática).
Gravitação / órbita circular:
  • A força gravitacional entre duas massas \,m e \,m^{\circ} separadas por distância \,r\, é dada por
F_{\text{grav}}=\frac{G\,m\,m^{\circ}}{r^{2}},
onde G é a constante gravitacional. Essa força é atrativa (direcionada para o centro).
  • Para um movimento circular uniforme de raio \,r\, a massa \,m\, precisa de uma força centrípeta de intensidade
F_{\text{cent}}=\frac{m v^{2}}{r},
onde v é a velocidade tangencial.
  • Em uma órbita circular estável a força gravitacional fornece exatamente a força centrípeta:
\frac{m v^{2}}{r}=\frac{G\,m\,m^{\circ}}{r^{2}}.
  • Energia cinética é T=\dfrac{1}{2}m v^{2}. Energia potencial gravitacional entre as massas (escolhendo a referência em r\to\infty com U(\infty)=0) é
U(r)=-\frac{G\,m\,m^{\circ}}{r}.
  • Energia total é E=T+U.
Movimento harmônico simples (MHS):
  • Para uma posição dada por x(t)=A\sin(\omega t), a velocidade é a derivada temporal v(t)=\dfrac{dx}{dt} e a aceleração é a(t)=\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}.
  • Se a aceleração obedecer a(t)=-\omega^{2}x(t), então a equação do movimento é m a = -m\omega^{2}x, o que é a equação do oscilador harmônico linear, com força restauradora F=-m\omega^{2}x.
  • Para uma força conservativa F(x)=-\dfrac{dU}{dx} a energia potencial U(x) obtém-se integrando dU/dx = -F(x).
  • Energia cinética T=\dfrac{1}{2}m v^{2} e energia total E=T+U. Mostrar que E é constante pode ser feito substituindo as soluções explícitas ou derivando dE/dt=0.

Passo 3

Resolver a primeira parte (energia total na órbita circular) passo a passo.
  1. Igualar força centrípeta e gravitacional: a condição de órbita circular é
\frac{m v^{2}}{r}=\frac{G\,m\,m^{\circ}}{r^{2}}.
Podemos cancelar o fator m dos dois lados (assumindo m\neq0) e multiplicar por r, obtendo
v^{2}=\frac{G\,m^{\circ}}{r}.
Isto nos dá a velocidade tangencial necessária para a órbita circular de raio \,r\,.
  1. Energia cinética T: substituindo v^{2} na expressão da energia cinética
T=\frac{1}{2}m v^{2}=\frac{1}{2}m\left(\frac{G\,m^{\circ}}{r}\right)=\frac{G\,m\,m^{\circ}}{2r}.
Expliquei: T é metade de m vezes o quadrado da velocidade; como v^{2} é proporcional a 1/r, T também escala como 1/r.
  1. Energia potencial U: para atração gravitacional (referência U(\infty)=0)
U(r)=-\frac{G\,m\,m^{\circ}}{r}.
  1. Energia total E=T+U: somando
E=\frac{G\,m\,m^{\circ}}{2r}-\frac{G\,m\,m^{\circ}}{r}=-\frac{G\,m\,m^{\circ}}{2r}.
Isto resulta de 1/2-1=-1/2.
  1. Mostrar que E é sempre negativa: como G>0, m>0, m^{\circ}>0 e r>0, o numerador G\,m\,m^{\circ} é positivo e o sinal na expressão é negativo, logo
E=-\frac{G\,m\,m^{\circ}}{2r}<0.
Portanto a energia total da massa m em qualquer órbita circular ao redor de m^{\circ} é negativa. (Interpretação física curta: energia negativa significa sistema ligado gravitacionalmente.)

Passo 4

Resolver a parte 3 (MHS) — item (a): velocidade.
  1. Começo pela posição dada:
x(t)=A\sin(\omega t).
Aqui A é amplitude (unidade de comprimento) e \omega é frequência angular (unidade \text{rad/s}).
  1. Derivar para obter a velocidade:
v(t)=\frac{dx}{dt}=A\omega\cos(\omega t).
Explicação: derivada de \sin(\omega t) é \omega\cos(\omega t); o multiplicador A sai como constante. Assim a velocidade tem amplitude A\omega e oscila em cosseno, com defasagem \pi/2 em relação à posição.

Passo 5

Parte 3 — item (b): força sobre a partícula.
  1. Aceleração: derivando a velocidade ou segunda derivada da posição,
a(t)=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=\frac{d}{dt}\big(A\omega\cos(\omega t)\big)=-A\omega^{2}\sin(\omega t)=-\omega^{2}x(t).
Mostrei que a aceleração é proporcional à posição com sinal negativo, típica do movimento harmônico.
  1. Força resultante (segunda lei de Newton):
F(t)=m a(t)=-m\omega^{2}x(t).
Ou, substituindo x(t),
F(t)=-m\omega^{2}A\sin(\omega t).
Comentário didático: a força aponta sempre para o ponto de equilíbrio (sinal negativo), é restauradora e proporcional à posição — é a forma de uma lei de Hooke efetiva com constante elástica k=m\omega^{2}.

Passo 6

Parte 3 — item (c): energia potencial (força conservativa).
  1. Como a força é conservativa e de forma F(x)=-m\omega^{2}x, usamos a relação
F(x)=-\frac{dU}{dx}\quad\Longrightarrow\quad \frac{dU}{dx}=m\omega^{2}x.
  1. Integramos para obter U(x):
U(x)=\int m\omega^{2}x\,dx = m\omega^{2}\cdot\frac{x^{2}}{2} + C = \frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}+C,
onde C é uma constante arbitrária de integração (referência da energia potencial).
  1. Escolha de referência: habitualmente escolhe-se U(0)=0, o que fixa C=0. Então
U(x)=\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}.
Isto é a forma conhecida da energia potencial elástica do oscilador.

Passo 7

Parte 3 — item (d): mostrar que a energia total é constante.
  1. Energia cinética usando a velocidade do Passo 4:
T(t)=\frac{1}{2}m v(t)^{2}=\frac{1}{2}m\big(A\omega\cos(\omega t)\big)^{2}=\frac{1}{2}mA^{2}\omega^{2}\cos^{2}(\omega t).
  1. Energia potencial usando x(t)=A\sin(\omega t) e resultado do Passo 6:
U(t)=\frac{1}{2}m\omega^{2}x(t)^{2}=\frac{1}{2}m\omega^{2}\big(A\sin(\omega t)\big)^{2}=\frac{1}{2}mA^{2}\omega^{2}\sin^{2}(\omega t).
  1. Energia total E=T+U:
E(t)=\frac{1}{2}mA^{2}\omega^{2}\big(\cos^{2}(\omega t)+\sin^{2}(\omega t)\big).
Usando a identidade trigonométrica \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1, obtemos
E(t)=\frac{1}{2}mA^{2}\omega^{2}.
  1. Conclusão: E(t) é independente do tempo, logo a energia total é constante. Isso confirma a conservação de energia para o MHS conservativo. Interpretação: a energia total é proporcional a A^{2} — quanto maior a amplitude, maior a energia armazenada.

Resposta

E_{\text{órbita}}=-\dfrac{G\,m\,m^{\circ}}{2r}<0.ó\n
3\text{a)}\;v(t)=A\omega\cos(\omega t).\n
3\text{b)}\;F(t)=-m\omega^{2}x(t)=-m\omega^{2}A\sin(\omega t).\n
3\text{c)}\;U(x)=\dfrac{1}{2}m\omega^{2}x^{2} (escolhendo U(0)=0).\n
3\text{d)}\;E=\dfrac{1}{2}mA^{2}\omega^{2} (constante).

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