Suponha que F, G: I \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3} são duas funções vetoriais diferenciáveis. Mostre que:
(F(t) \cdot G(t))^{\prime}=F^{\prime}(t) \cdot G(t)+F(t) \cdot G^{\prime}(t) ;

Passo 1

O enunciado dá claramente:
  • São dadas duas funções vetoriais diferenciáveis F,G: I\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3.
  • A expressão escalar h(t)=F(t)\cdot G(t) (produto escalar) está bem definida para cada t\in I.
  • O que se pede: mostrar que
\bigl(F(t)\cdot G(t)\bigr)^{\prime}=F^{\prime}(t)\cdot G(t)+F(t)\cdot G^{\prime}(t).
Informações relevantes que o enunciado fornece (anotei explicitamente):
  • F e G são diferenciáveis em I, ou seja, suas derivadas F^{\prime} e G^{\prime} existem em todos os pontos do intervalo I.
  • O produto escalar F(t)\cdot G(t) é uma função real (escalares) de t. Portanto a derivada do lado esquerdo é a derivada de uma função real.

Passo 2

Vamos escrever as componentes das funções vetoriais para trabalhar com funções escalares simples (isso facilita e deixa tudo explícito).
Defina
F(t)=\bigl(F_1(t),\,F_2(t),\,F_3(t)\bigr), \qquad G(t)=\bigl(G_1(t),\,G_2(t),\,G_3(t)\bigr),
onde cada F_i e G_i é uma função real de t. Como F e G são diferenciáveis, cada F_i e G_i também é diferenciável.
O produto escalar é dado por
F(t)\cdot G(t)=F_1(t)G_1(t)+F_2(t)G_2(t)+F_3(t)G_3(t).
Portanto h(t)=F(t)\cdot G(t) é a soma de três funções reais F_i(t)G_i(t).
Também é importante lembrar (e vamos usar) que a derivada de uma função vetorial é obtida componente a componente:
F'(t)=\bigl(F_1'(t),\,F_2'(t),\,F_3'(t)\bigr), \qquad G'(t)=\bigl(G_1'(t),\,G_2'(t),\,G_3'(t)\bigr).

Passo 3

Agora vamos relembrar (e provar rapidamente) duas regras básicas de derivação para funções reais, porque iremos usá-las: linearidade da derivada (derivada de soma) e regra do produto para escalares.
  1. Linearidade (derivada da soma):
    Se u(t) e v(t) são diferenciáveis, então
\bigl(u(t)+v(t)\bigr)'=u'(t)+v'(t).
Prova curta usando definição de derivada:
\frac{(u+v)(t+h)-(u+v)(t)}{h} =\frac{u(t+h)-u(t)}{h}+\frac{v(t+h)-v(t)}{h}.
Tomando limite quando h\to0 obtemos u'(t)+v'(t). Pronto.
  1. Regra do produto para funções reais:
    Se u(t) e v(t) são diferenciáveis, então
\bigl(u(t)v(t)\bigr)'=u'(t)v(t)+u(t)v'(t).
Prova usando definição de derivada (muito útil lembrar este truque padrão):
\frac{u(t+h)v(t+h)-u(t)v(t)}{h} =\frac{u(t+h)-u(t)}{h}\,v(t+h)+u(t)\,\frac{v(t+h)-v(t)}{h}.
Ao fazer h\to0, tem-se \dfrac{u(t+h)-u(t)}{h}\to u'(t) e v(t+h)\to v(t), e o segundo quociente tende a v'(t). Assim o limite é u'(t)v(t)+u(t)v'(t).
Essas provas são simples e baseadas apenas na definição de derivada — ótimo, porque não usamos nada mais avançado.

Passo 4

Aplicando as regras escalares componente a componente.
Cada termo F_i(t)G_i(t) é um produto de duas funções reais diferenciáveis, então pela regra do produto (do passo anterior) temos, para i=1,2,3,
\bigl(F_i(t)G_i(t)\bigr)'=F_i'(t)G_i(t)+F_i(t)G_i'(t).
Como F(t)\cdot G(t)=\sum_{i=1}^{3} F_i(t)G_i(t), pela linearidade da derivada (derivada da soma) obtemos
\bigl(F(t)\cdot G(t)\bigr)' =\sum_{i=1}^{3}\bigl(F_i(t)G_i(t)\bigr)' =\sum_{i=1}^{3}\bigl(F_i'(t)G_i(t)+F_i(t)G_i'(t)\bigr).

Passo 5

Agora reorganize a soma para reconhecer os produtos escalares das derivadas:
\sum_{i=1}^{3}\bigl(F_i'(t)G_i(t)+F_i(t)G_i'(t)\bigr) =\sum_{i=1}^{3}F_i'(t)G_i(t)+\sum_{i=1}^{3}F_i(t)G_i'(t).
Mas essas somas são exatamente os produtos escalares:
\sum_{i=1}^{3}F_i'(t)G_i(t)=F'(t)\cdot G(t), \qquad \sum_{i=1}^{3}F_i(t)G_i'(t)=F(t)\cdot G'(t).
Portanto juntando tudo:
\bigl(F(t)\cdot G(t)\bigr)'=F'(t)\cdot G(t)+F(t)\cdot G'(t),
que é justamente o que queríamos demonstrar.

Passo 6

Comentário final (para fixar a intuição): o argumento essencial foi reduzir o produto escalar a uma soma de três produtos escalares escalares (componentes), aplicar a regra do produto e a linearidade da derivada e recompor em forma de produto escalar. Outra maneira mais “abstrata” é observar que o produto escalar é uma forma bilinear e que a derivada é linear, então a fórmula decorre da bilinearidade — mas a prova por componentes é mais elementar e segura para a prova.

Resposta

\bigl(F(t)\cdot G(t)\bigr)^{\prime}=F^{\prime}(t)\cdot G(t)+F(t)\cdot G^{\prime}(t).

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