Suponha que
são duas funções vetoriais diferenciáveis. Mostre que:
Passo 1
O enunciado dá claramente:
- São dadas duas funções vetoriais diferenciáveis
. - A expressão escalar
(produto escalar) está bem definida para cada . - O que se pede: mostrar que
Informações relevantes que o enunciado fornece (anotei explicitamente):
-
e são diferenciáveis em , ou seja, suas derivadas e existem em todos os pontos do intervalo . - O produto escalar
é uma função real (escalares) de . Portanto a derivada do lado esquerdo é a derivada de uma função real.
Passo 2
Vamos escrever as componentes das funções vetoriais para trabalhar com funções escalares simples (isso facilita e deixa tudo explícito).
Defina
onde cada
e
é uma função real de
. Como
e
são diferenciáveis, cada
e
também é diferenciável.
O produto escalar é dado por
Portanto
é a soma de três funções reais
.
Também é importante lembrar (e vamos usar) que a derivada de uma função vetorial é obtida componente a componente:
Passo 3
Agora vamos relembrar (e provar rapidamente) duas regras básicas de derivação para funções reais, porque iremos usá-las: linearidade da derivada (derivada de soma) e regra do produto para escalares.
- Linearidade (derivada da soma):
See são diferenciáveis, então
Prova curta usando definição de derivada:
Tomando limite quando
obtemos
. Pronto.
- Regra do produto para funções reais:
See são diferenciáveis, então
Prova usando definição de derivada (muito útil lembrar este truque padrão):
Ao fazer
, tem-se
e
, e o segundo quociente tende a
. Assim o limite é
.
Essas provas são simples e baseadas apenas na definição de derivada — ótimo, porque não usamos nada mais avançado.
Passo 4
Aplicando as regras escalares componente a componente.
Cada termo
é um produto de duas funções reais diferenciáveis, então pela regra do produto (do passo anterior) temos, para
,
Como
, pela linearidade da derivada (derivada da soma) obtemos
Passo 5
Agora reorganize a soma para reconhecer os produtos escalares das derivadas:
Mas essas somas são exatamente os produtos escalares:
Portanto juntando tudo:
que é justamente o que queríamos demonstrar.
Passo 6
Comentário final (para fixar a intuição): o argumento essencial foi reduzir o produto escalar a uma soma de três produtos escalares escalares (componentes), aplicar a regra do produto e a linearidade da derivada e recompor em forma de produto escalar. Outra maneira mais “abstrata” é observar que o produto escalar é uma forma bilinear e que a derivada é linear, então a fórmula decorre da bilinearidade — mas a prova por componentes é mais elementar e segura para a prova.