Suponha que um fabricante de sorvetes receba 20 \% de todo o leite que utiliza de uma fazenda F_{1}, 30 \% de outra fazenda F_{2} e 50 \% de F_{3}. Um órgão de fiscalização inspecionou as fazendas de surpresa e observou que 20 \% do leite produzido por F_{1} estava adulterado por adição de água, enquanto que para F_{2} e F_{3}, essa proporção era de 5 \% e 2 \%, respectivamente. Em uma indústria de sorvetes, os galões são armazenados em um refrigerador sem qualquer identificação das fazendas. Um galão de leite foi escolhido aleatoriamente e verificou-se que estava adulterado. Qual a probabilidade de que o leite tenha sido fornecido pela fazenda:
$F_{3} ?.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (peguei esses números do enunciado):
  • A fábrica recebe frações do leite de três fazendas:
    • \Pr(F_1)=0,2.
    • \Pr(F_2)=0,3.
    • \Pr(F_3)=0,5.
  • As proporções de leite adulterado (adição de água) observadas nas fazendas:
    • \Pr(A \mid F_1)=0,2.
    • \Pr(A \mid F_2)=0,05.
    • \Pr(A \mid F_3)=0,02.
O que o problema pergunta:
  • Dado que um galão escolhido aleatoriamente está adulterado (evento A), qual é a probabilidade de que ele tenha vindo da fazenda F_3? Ou seja, determinar \Pr(F_3 \mid A).

Passo 2

Vamos definir claramente os eventos e notação que usaremos:
  • F_i = "o galão veio da fazenda i" para i=1,2,3.
  • A = “o galão está adulterado”.
Lembrete intuitivo: queremos a probabilidade de uma causa ( F_3) dado um efeito observado ( A). Para isso usamos o Teorema de Bayes, que combina as probabilidades prévias das fazendas com as probabilidades de adulteração condicionais a elas.

Passo 3

Apresentando a fórmula que vamos aplicar (Teorema de Bayes com a regra da probabilidade total):
\Pr(F_3\mid A)=\frac{\Pr(A\mid F_3)\Pr(F_3)}{\Pr(A)},
onde
\Pr(A)=\Pr(A\mid F_1)\Pr(F_1)+\Pr(A\mid F_2)\Pr(F_2)+\Pr(A\mid F_3)\Pr(F_3).
Explicando cada termo:
  • \Pr(A\mid F_i) é a chance de um galão estar adulterado se ele veio da fazenda F_i.
  • \Pr(F_i) é a fração do leite que a indústria compra de F_i (probabilidade a priori).
  • \Pr(A) é a probabilidade total de escolher um galão adulterado, considerando todas as fazendas (por isso somamos os contributos de cada fazenda).
Também vale lembrar que \Pr(A\cap F_i)=\Pr(A\mid F_i)\Pr(F_i): essa é a probabilidade de o galão ser ao mesmo tempo da fazenda F_i e estar adulterado.

Passo 4

Calcular as probabilidades conjuntas \Pr(A\cap F_i) para cada fazenda (faço as contas em frações para manter exatidão):
  • Para F_1: \Pr(A\cap F_1)=\Pr(A\mid F_1)\Pr(F_1)=0,2\cdot0,2. Em frações isso é \tfrac{1}{5}\cdot\tfrac{1}{5}=\tfrac{1}{25}=0,04.
  • Para F_2: \Pr(A\cap F_2)=0,05\cdot0,3. Em frações isso é \tfrac{1}{20}\cdot\tfrac{3}{10}=\tfrac{3}{200}=0,015.
  • Para F_3: \Pr(A\cap F_3)=0,02\cdot0,5. Em frações isso é \tfrac{1}{50}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{100}=0,01.
Agora somamos para obter \Pr(A):
\Pr(A)=\tfrac{1}{25}+\tfrac{3}{200}+\tfrac{1}{100}.
Calculemos com denominador comum 200:
\Pr(A)=\frac{8}{200}+\frac{3}{200}+\frac{2}{200}=\frac{13}{200}=0,065.

Passo 5

Aplicando Bayes para \Pr(F_3\mid A):
\Pr(F_3\mid A)=\frac{\Pr(A\mid F_3)\Pr(F_3)}{\Pr(A)}=\frac{\tfrac{1}{100}}{\tfrac{13}{200}}.
Simplificando a fração:
\Pr(F_3\mid A)=\frac{1}{100}\cdot\frac{200}{13}=\frac{2}{13}.

Passo 6

Interpretação numérica e arredondamento (sem calculadora, ainda dá para ver a ordem de grandeza):
\frac{2}{13}\approx 0,153846\ldots \approx 0,1538,
ou em porcentagem
\approx 15,3846\%\approx 15,38\%.
Força aí — a ideia-chave é que mesmo que F_3 forneça metade do leite, sua taxa baixa de adulteração faz com que, entre os galões adulterados, a fatia que veio de F_3 seja relativamente pequena (cerca de 15{,}4\%). Isso é um bom exemplo de como Bayes nos corrige a intuição usando informação condicional.

Resposta

\dfrac{2}{13}\approx0,1538 (aprox. 15,38\%)

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