Suponha que um fabricante de sorvetes receba
de todo o leite que utiliza de uma fazenda
de outra fazenda
e
de
. Um órgão de fiscalização inspecionou as fazendas de surpresa e observou que
do leite produzido por
estava adulterado por adição de água, enquanto que para
e
, essa proporção era de
e
, respectivamente. Em uma indústria de sorvetes, os galões são armazenados em um refrigerador sem qualquer identificação das fazendas. Um galão de leite foi escolhido aleatoriamente e verificou-se que estava adulterado. Qual a probabilidade de que o leite tenha sido fornecido pela fazenda:
$F_{3} ?.
$F_{3} ?.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (peguei esses números do enunciado):
- A fábrica recebe frações do leite de três fazendas:
-
. -
. -
.
-
- As proporções de leite adulterado (adição de água) observadas nas fazendas:
-
. -
. -
.
-
O que o problema pergunta:
- Dado que um galão escolhido aleatoriamente está adulterado (evento
), qual é a probabilidade de que ele tenha vindo da fazenda ? Ou seja, determinar .
Passo 2
Vamos definir claramente os eventos e notação que usaremos:
-
= "o galão veio da fazenda " para . -
= “o galão está adulterado”.
Lembrete intuitivo: queremos a probabilidade de uma causa (
) dado um efeito observado (
). Para isso usamos o Teorema de Bayes, que combina as probabilidades prévias das fazendas com as probabilidades de adulteração condicionais a elas.
Passo 3
Apresentando a fórmula que vamos aplicar (Teorema de Bayes com a regra da probabilidade total):
onde
Explicando cada termo:
-
é a chance de um galão estar adulterado se ele veio da fazenda . -
é a fração do leite que a indústria compra de (probabilidade a priori). -
é a probabilidade total de escolher um galão adulterado, considerando todas as fazendas (por isso somamos os contributos de cada fazenda).
Também vale lembrar que
: essa é a probabilidade de o galão ser ao mesmo tempo da fazenda
e estar adulterado.
Passo 4
Calcular as probabilidades conjuntas
para cada fazenda (faço as contas em frações para manter exatidão):
- Para
: . Em frações isso é . - Para
: . Em frações isso é . - Para
: . Em frações isso é .
Agora somamos para obter
:
Calculemos com denominador comum
:
Passo 5
Aplicando Bayes para
:
Simplificando a fração:
Passo 6
Interpretação numérica e arredondamento (sem calculadora, ainda dá para ver a ordem de grandeza):
ou em porcentagem
Força aí — a ideia-chave é que mesmo que
forneça metade do leite, sua taxa baixa de adulteração faz com que, entre os galões adulterados, a fatia que veio de
seja relativamente pequena (cerca de
). Isso é um bom exemplo de como Bayes nos corrige a intuição usando informação condicional.