Suponha que 2 máquinas A e B produzam um mesmo artigo e que as massas por artigo (em gramas) tenham distribuição normal com médias: \mu_{1}=550 e \mu_{2}=565 e variâncias: \sigma_{1}^{2}=144 e \sigma_{2}^{2}=256, respectivamente. Escolhem-se ao acaso 21 artigos produzidos pela máquina A e 31 produzidos pela máquina B . Calcular a probabilidade de que a massa média de produção da amostra da máquina A seja maior do que a massa média dos artigos produzidos pela máquina B em mais de 2 gramas.
Passo 1
O enunciado dá duas máquinas com distribuições normais das massas por artigo e pede a probabilidade de que a média amostral da máquina A exceda a média amostral da máquina B em mais de 2 gramas. Dados fornecidos:
Média da população da máquina A: \mu_{1}=550.
Variância da população da máquina A: \sigma_{1}^{2}=144.
Média da população da máquina B: \mu_{2}=565.
Variância da população da máquina B: \sigma_{2}^{2}=256.
Tamanhos das amostras: n_{1}=21 (A) e n_{2}=31 (B).
O que se pede:
Calcular \displaystyle P\bigl(\overline{X}_A-\overline{X}_B>2\bigr), onde \overline{X}_A é a média amostral dos n_{1} artigos da máquina A e \overline{X}_B é a média amostral dos n_{2} artigos da máquina B.
Passo 2
Resumo das ideias que vamos usar (com explicação didática).
Se X_{1},\dots,X_{n} são independentes e cada X_i tem distribuição \mathcal{N}(\mu,\sigma^{2}), então a média amostral \overline{X} tem distribuição normal
Explicação: a média de variáveis normais é normal; a média tem mesma esperança \mu e sua variância é a variância individual dividida por n (porque somando n termos independentes a variância soma e ao dividir por n ao quadrado a variância do resultado é \sigma^{2}/n). Isso mostra que médias amostrais têm variância menor que a observação individual — quanto maior n, mais precisa a média.
Se \overline{X}_A e \overline{X}_B são independentes (amostras independentes de máquinas diferentes), a diferença também é normal, com
Explicação: médias independentes somam (ou subtraem) somando-se as esperanças e somando-se as variâncias (porque independência permite somar variâncias). Note que usamos soma das variâncias, não a diferença.
Para calcular uma probabilidade do tipo P(\overline{X}_A-\overline{X}_B>c) padrão-seza a normal usando a padronização
Então P(\overline{X}_A-\overline{X}_B>c)=P\!\left(Z>\dfrac{c-(\mu_{1}-\mu_{2})}{\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}}}\right).
Passo 3
Aplicando as fórmulas aos números do problema — calcular as variâncias das médias e a variância da diferença.
Explicação: calculei \frac{144}{21}+\frac{256}{31} e simplifiquei para \frac{3280}{217} (um valor exato em fração), depois obtive a aproximação decimal para facilitar contas.
Passo 4
Calcular a média da diferença e montar a probabilidade pedida.
Explicação: esse z positivo grande significa que o evento pedido (média de A maior que média de B por mais de 2 g) fica muito à direita em relação à média esperada da diferença (que é -15), portanto é muito improvável.
Passo 5
Avaliar a probabilidade de cauda da normal padrão para z\approx4{,}37.
Usando uma aproximação da cauda para normal padrão (ou tabela/calculadora), para z grande a cauda superior é muito pequena e pode ser aproximada por
P(Z>z)\approx\frac{1}{z\sqrt{2\pi}}e^{-z^{2}/2}.
Substituindo z\approx4{,}37 obtemos, após calcular os termos numéricos, um valor da ordem de 6\times10^{-6}.
Portanto a probabilidade pedida é aproximadamente 6{,}4\times10^{-6} (ou seja, cerca de 0{,}00064\%).
Interpretação breve: é praticamente zero — intuitivamente, como a diferença entre as médias das populações é -15 (B é, em média, 15 g mais pesado que A), é extremamente improvável que a média amostral de A ultrapasse a de B por mais de 2 g com os tamanhos amostrais dados.