Suponha que 2 máquinas A e B produzam um mesmo artigo e que as massas por artigo (em gramas) tenham distribuição normal com médias: \mu_{1}=550 e \mu_{2}=565 e variâncias: \sigma_{1}^{2}=144 e \sigma_{2}^{2}=256, respectivamente. Escolhem-se ao acaso 21 artigos produzidos pela máquina A e 31 produzidos pela máquina B . Calcular a probabilidade de que a massa média de produção da amostra da máquina A seja maior do que a massa média dos artigos produzidos pela máquina B em mais de 2 gramas.

Passo 1

O enunciado dá duas máquinas com distribuições normais das massas por artigo e pede a probabilidade de que a média amostral da máquina A exceda a média amostral da máquina B em mais de 2 gramas. Dados fornecidos:
  • Média da população da máquina A: \mu_{1}=550.
  • Variância da população da máquina A: \sigma_{1}^{2}=144.
  • Média da população da máquina B: \mu_{2}=565.
  • Variância da população da máquina B: \sigma_{2}^{2}=256.
  • Tamanhos das amostras: n_{1}=21 (A) e n_{2}=31 (B).
O que se pede:
Calcular \displaystyle P\bigl(\overline{X}_A-\overline{X}_B>2\bigr), onde \overline{X}_A é a média amostral dos n_{1} artigos da máquina A e \overline{X}_B é a média amostral dos n_{2} artigos da máquina B.

Passo 2

Resumo das ideias que vamos usar (com explicação didática).
  • Se X_{1},\dots,X_{n} são independentes e cada X_i tem distribuição \mathcal{N}(\mu,\sigma^{2}), então a média amostral \overline{X} tem distribuição normal
\overline{X}\sim\mathcal{N}\!\left(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n}\right).
Explicação: a média de variáveis normais é normal; a média tem mesma esperança \mu e sua variância é a variância individual dividida por n (porque somando n termos independentes a variância soma e ao dividir por n ao quadrado a variância do resultado é \sigma^{2}/n). Isso mostra que médias amostrais têm variância menor que a observação individual — quanto maior n, mais precisa a média.
  • Se \overline{X}_A e \overline{X}_B são independentes (amostras independentes de máquinas diferentes), a diferença também é normal, com
\overline{X}_A-\overline{X}_B\sim\mathcal{N}\!\left(\mu_{1}-\mu_{2},\\ \frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}\right).
Explicação: médias independentes somam (ou subtraem) somando-se as esperanças e somando-se as variâncias (porque independência permite somar variâncias). Note que usamos soma das variâncias, não a diferença.
  • Para calcular uma probabilidade do tipo P(\overline{X}_A-\overline{X}_B>c) padrão-seza a normal usando a padronização
Z=\frac{(\overline{X}_A-\overline{X}_B)-(\mu_{1}-\mu_{2})}{\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}}} \sim\mathcal{N}(0,1).
Então P(\overline{X}_A-\overline{X}_B>c)=P\!\left(Z>\dfrac{c-(\mu_{1}-\mu_{2})}{\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}}}\right).

Passo 3

Aplicando as fórmulas aos números do problema — calcular as variâncias das médias e a variância da diferença.
  • Desvios padrão das populações:
\sigma_{1}=\sqrt{144}=12,\qquad \sigma_{2}=\sqrt{256}=16.
  • Variâncias das médias:
\mathrm{Var}(\overline{X}_A)=\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}=\frac{144}{21}=\frac{48}{7}\approx6{,}857142857.
\mathrm{Var}(\overline{X}_B)=\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}=\frac{256}{31}\approx8{,}258064516.
  • Variância da diferença (soma das variâncias porque as amostras são independentes):
\mathrm{Var}(\overline{X}_A-\overline{X}_B)=\frac{144}{21}+\frac{256}{31}=\frac{3280}{217}\approx15{,}115207373.
Explicação: calculei \frac{144}{21}+\frac{256}{31} e simplifiquei para \frac{3280}{217} (um valor exato em fração), depois obtive a aproximação decimal para facilitar contas.

Passo 4

Calcular a média da diferença e montar a probabilidade pedida.
  • Esperança da diferença:
\mathbb{E}(\overline{X}_A-\overline{X}_B)=\mu_{1}-\mu_{2}=550-565=-15.
  • Queremos
P\bigl(\overline{X}_A-\overline{X}_B>2\bigr).
Padronizando com a distribuição normal da diferença:
Z=\frac{(\overline{X}_A-\overline{X}_B)-(-15)}{\sqrt{\frac{3280}{217}}} =\frac{(\overline{X}_A-\overline{X}_B)+15}{\sqrt{\frac{3280}{217}}}\sim\mathcal{N}(0,1).
Então
P\bigl(\overline{X}_A-\overline{X}_B>2\bigr) = P\!\left(Z>\frac{2-(-15)}{\sqrt{\frac{3280}{217}}}\right) = P\!\left(Z>\frac{17}{\sqrt{\frac{3280}{217}}}\right).
Calculemos o valor numérico do denominador (desvio padrão da diferença):
\sqrt{\frac{3280}{217}}\approx\sqrt{15{,}115207373}\approx3{,}887\\ (\text{aprox.}).
Logo o valor de Z de corte é
z=\frac{17}{3{,}887}\approx4{,}37\\ (\text{aprox.}).
Explicação: esse z positivo grande significa que o evento pedido (média de A maior que média de B por mais de 2 g) fica muito à direita em relação à média esperada da diferença (que é -15), portanto é muito improvável.

Passo 5

Avaliar a probabilidade de cauda da normal padrão para z\approx4{,}37.
  • Usando uma aproximação da cauda para normal padrão (ou tabela/calculadora), para z grande a cauda superior é muito pequena e pode ser aproximada por
P(Z>z)\approx\frac{1}{z\sqrt{2\pi}}e^{-z^{2}/2}.
Substituindo z\approx4{,}37 obtemos, após calcular os termos numéricos, um valor da ordem de 6\times10^{-6}.
  • Portanto a probabilidade pedida é aproximadamente 6{,}4\times10^{-6} (ou seja, cerca de 0{,}00064\%).
Interpretação breve: é praticamente zero — intuitivamente, como a diferença entre as médias das populações é -15 (B é, em média, 15 g mais pesado que A), é extremamente improvável que a média amostral de A ultrapasse a de B por mais de 2 g com os tamanhos amostrais dados.

Resposta

6{,}4\times10^{-6}

Exercícios relacionados