Suponha que uma partícula P se desloca do ponto A=(1,2) ao ponto B=(2,-1) sob a ação de uma força constante \vec{F}. Determinar a intensidade de \vec{F}, sabendo que a particula ao se deslocar entre A e B realizou um trabalho de -4 J, e que a força tem sentido oposto ao deslocamento.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Dados do enunciado:
    • Ponto inicial A=(1,2).
    • Ponto final B=(2,-1).
    • Trabalho realizado W=-4\\ \text{J}.
    • A força \vec F é constante e tem sentido oposto ao deslocamento.
  • O enunciado pede: determinar a intensidade (magnitude) de \vec F, ou seja |\vec F|.

Passo 2

Calcular o vetor deslocamento \vec d de A para B e sua magnitude.
  • Definição: o vetor deslocamento é \vec d=\overrightarrow{AB}=B-A, componente a componente.
  • Substituindo coordenadas: \vec d = (2-1,\;-1-2) = (1,\;-3).
  • Magnitude (comprimento) de um vetor (x,y) no plano é |(x,y)|=\sqrt{x^2+y^2}. Aplicando: |\vec d|=\sqrt{1^2+(-3)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}.

Passo 3

Lembrar a fórmula do trabalho para força constante e entender o efeito do ângulo entre força e deslocamento.
  • Para uma força constante \vec F que desloca a partícula por \vec d, o trabalho é dado pelo produto escalar: W=\vec F\cdot\vec d.
  • O produto escalar também pode ser escrito em termos de magnitudes e ângulo: \vec F\cdot\vec d = |\vec F|\,|\vec d|\,\cos\theta,onde \theta é o ângulo entre \vec F e \vec d.
  • Aqui o enunciado afirma que a força tem sentido oposto ao deslocamento, isto é, \vec F é antiparalela a \vec d. Quando dois vetores são opostos, o ângulo entre eles é \theta=\pi e \cos\theta=\cos\pi=-1.
  • Portanto, neste caso: W = |\vec F|\,|\vec d|\,\cos\pi = -|\vec F|\,|\vec d|.

Passo 4

Usar o valor do trabalho dado para encontrar |\vec F|.
  • Substituindo W=-4\\ \text{J} e a expressão obtida: -4 = -|\vec F|\,|\vec d|.
  • Isolando |\vec F|: |\vec F|\,|\vec d| = 4 \quad\Rightarrow\quad |\vec F| = \frac{4}{|\vec d|}.
  • Já calculamos |\vec d|=\sqrt{10}, então |\vec F| = \frac{4}{\sqrt{10}}.

Passo 5

Dar a forma exata e uma aproximação numérica conveniente.
  • Racionalizando o denominador, uma forma equivalente é |\vec F| = \frac{2\sqrt{10}}{5}.
  • Aproximação decimal (usar vírgula como separador decimal): |\vec F| \approx 1,265\\ \text{N}.

Resposta

\displaystyle |\vec F|=\frac{4}{\sqrt{10}}\\ \text{N}=\frac{2\sqrt{10}}{5}\\ \text{N}\approx1,265\\ \text{N}

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