Suponha que, em primeira aproximação, a autofunção do Hélio
, satisfaz a equação
com
. Qual deve ser a autofunção do estado fundamental e a energia nesse caso? (Sugestão: Note que a equação de Schrödinger pode ser separada em duas equações aplicadas a cada um dos elétrons com soluções similares a do átomo monoeletrônico).
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de Schrödinger aproximada para o hélio (dois elétrons)
com
.
O que o enunciado pede:
O que o enunciado pede:
- Encontrar a autofunção do estado fundamental (função de onda total, incluindo informação de spin, se necessário).
- Encontrar a energia do estado fundamental correspondente.
Informações relevantes dadas:
- O potencial é soma de termos que dependem apenas de
e apenas de (ou seja, a equação é separável). - Foi sugerido que as soluções serão similares às do átomo monoeletrônico (hidrogenoide) — portanto cada elétron “vê” uma carga efetiva
.
Passo 2
Separação da equação: proponha uma autofunção do tipo produto espacial (produto de orbitais de cada elétron)
(ambos os elétrons ocupando o mesmo orbital espacial no estado fundamental). Substituindo na equação e dividindo por
obtém-se duas equações idênticas, uma para cada elétron:
onde a energia total separa como
porque as equações para os dois elétrons são idênticas. Ou seja, cada elétron obedece à equação de um átomo hidrogenoide com carga efetiva
Passo 3
Solução do problema hidrogenoide (revisão rápida e fórmula que usaremos). Para um elétron num potencial Coulombiano
as autofunções conhecidas são os orbitais hidrogenoides. O nível fundamental (
) tem energia
Explicando as constantes:
-
é a massa do elétron; -
é a carga elementar; -
é a constante de Planck reduzida; -
é a permissividade do vácuo; -
é o raio de Bohr; - Numericament e, a unidade de energia dessa expressão é o Rydberg:
.
Para
e substituindo
,
Passo 4
Calcular
e a energia numérica. Com
,
Então
A energia por elétron no orbital fundamental é
A energia total do átomo (dois elétrons, ambos em
) é
(Se preferir a forma fracionária exata:
)
Passo 5
Autofunção espacial do estado fundamental (forma normalizada). O orbital hidrogenoide
com carga
tem a forma normalizada
onde
é o raio de Bohr. Assim a autofunção espacial total é o produto
Passo 6
Consideração de spin e antissimetrização (questão de princípio). Como os elétrons são férmions, a função de onda total deve ser antissimétrica sob troca dos dois elétrons. A função espacial
é simétrica sob troca
. Para garantir a antissimetria total, o fator de spin deve ser antissimétrico: portanto o estado de spin é o singlete
onde
são os estados de spin “up” e “down”. Logo a autofunção total (espaço × spin) é
Passo 7
Comentário final e interpretação rápida (ânimo!). O que fizemos: transformamos o problema aproximado de dois elétrons em duas cópias de um átomo hidrogenoide com carga efetiva
. Isso dá a forma explícita da função de onda (produto de
hidrogenoideis) e a energia total igual à soma das energias de cada elétron. É uma boa aproximação inicial (muito usada) e já dá um valor razoável para a energia do hélio no estado fundamental.