9-) Suponha que todas as moléculas de uma caixa estejam em 99 \% do volume deixando o 1 \% restante completamente vazio. Qual é a probabilidade de encontrar tal arranjo se houver 100 moléculas no recipiente? E se houver 10.000 moléculas? E se houver 10^{23} ?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Queremos a probabilidade de que todas as moléculas fiquem dentro dos 99\% do volume, deixando o 1\% restante vazio.
  • Informação numérica: tamanho da região vazia é 1\% do volume total; portanto a fração do volume ocupada pelas moléculas é 99\%.
  • Pedidos: calcular essa probabilidade quando o número de moléculas é 100, depois quando é 10\,000 e quando é 10^{23}.
  • Pressuposição implícita (necessária para resolver): cada molécula tem posição aleatória independente e uniforme no volume; assim a probabilidade de uma molécula cair fora do 1\% vazio é 0{,}99 e eventos para moléculas diferentes são independentes.

Passo 2

Modelo probabilístico e fórmula geral (explicação didática):
  • Se cada molécula, independentemente, tem probabilidade p=0{,}99 de estar na parte cheia (os 99\% do volume), então a probabilidade de duas moléculas estarem ambas na parte cheia é p\cdot p=p^2 (multiplica-se porque são eventos independentes).
  • Generalizando: para N moléculas independentes a probabilidade de todas estarem na parte cheia é
P(N)=p^{N}.
  • Substituindo p=0{,}99 obtemos a fórmula que usaremos:
P(N)=0{,}99^{N}.
(Comentário amigável: multiplicar probabilidades independentes é a regra básica — pensa em repetir o mesmo evento N vezes e querer que dê certo em todas as tentativas.)

Passo 3

Como calcular numericamente 0{,}99^{N} de forma prática (aula rápida de aproximação):
  • É conveniente usar logaritmo natural para manipular potências muito grandes:
0{,}99^{N}=\exp\bigl(N\ln(0{,}99)\bigr).
  • Para x pequeno, \ln(1-x)=-x-\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{x^{3}}{3}-\cdots. Aqui x=0{,}01, então
\ln(0{,}99)=\ln(1-0{,}01)\approx -0{,}01 - \dfrac{(0{,}01)^{2}}{2}-\dfrac{(0{,}01)^{3}}{3}-\cdots.
  • Calculando os primeiros termos: -0{,}01 - 0{,}00005 - 0{,}000000333\ldots \approx -0{,}01005033585. Assim usaremos
\ln(0{,}99)\approx -0{,}01005033585.
(Essa aproximação é suficiente e normalmente aceitável em prova.)

Passo 4

Cálculo para N=100 (passo a passo):
  • Usamos P(100)=\exp\bigl(100\ln(0{,}99)\bigr).
  • Multiplicando: 100\ln(0{,}99)\approx 100\cdot(-0{,}01005033585)=-1{,}005033585.
  • Portanto
P(100)=\exp(-1{,}005033585)\approx 0{,}366032341.
  • Interpretação: cerca de 36{,}6\%. Ou seja, com 100 moléculas não é raro que todas fiquem fora daquele 1\% — as flutuações podem deixar um pequeno canto vazio.

Passo 5

Cálculo para N=10\,000 (passo a passo):
  • P(10\,000)=\exp\bigl(10\,000\ln(0{,}99)\bigr).
  • Multiplicando: 10\,000\ln(0{,}99)\approx 10\,000\cdot(-0{,}01005033585)=-100{,}5033585.
  • Então
P(10\,000)=\exp(-100{,}5033585).
  • Para avaliar numericamente: \exp(-100)\approx 3{,}720075976\times10^{-44} e \exp(-0{,}5033585)\approx0{,}604855, logo
P(10\,000)\approx 3{,}720075976\times10^{-44}\times0{,}604855\approx 2{,}25\times10^{-44}.
  • Interpretação: probabilidade essencialmente zero para fins práticos — do ponto de vista experimental, nunca se espera ver esse arranjo com 10\,000 moléculas.

Passo 6

Cálculo para N=10^{23} (passo a passo e interpretação):
  • P(10^{23})=\exp\bigl(10^{23}\ln(0{,}99)\bigr).
  • Multiplicando: 10^{23}\ln(0{,}99)\approx 10^{23}\cdot(-0{,}01005033585)=-1{,}005033585\times10^{21}.
  • Assim
P(10^{23})=\exp\bigl(-1{,}005033585\times10^{21}\bigr).
  • Para dar uma ideia em potências de dez, usamos \log_{10}P=\dfrac{\ln P}{\ln 10}. Então
\log_{10}P(10^{23})\approx \dfrac{-1{,}005033585\times10^{21}}{2{,}302585093}\approx -4{,}367\times10^{20}.
  • Portanto
P(10^{23})\approx 10^{-\,4{,}367\times10^{20}},
um número com um expoente negativo do tamanho ~ 10^{20} — absolutamente desprezível, ou seja, praticamente zero.

Passo 7

Interpretação física e motivação (encorajamento):
  • Resumo intuitivo: a fórmula é simples P(N)=0{,}99^{N}. Para poucos átomos (ex.: 100) a probabilidade ainda é razoável ( \sim36{,}6\%). Para 10\,000 já é astronomicamente pequena ( \sim2{,}25\times10^{-44}). Para 10^{23} é tão pequena que é, para todos os efeitos práticos, zero.
  • Moral: eventos de grande raridade em nível microscópico (deixar exatamente 1\% completamente vazio quando há Avogadro de partículas) praticamente não ocorrem — é por isso que a termodinâmica macroscópica é tão estável.
  • Força aí — deu pra ver como aplicar independência e logaritmos para avaliar probabilidades enormes/pequenas!

Resposta

P(N=100)=0{,}99^{100}\approx0{,}366032341\n
P(N=10\,000)=0{,}99^{10\,000}\approx2{,}25\times10^{-44}\n
P(N=10^{23})=0{,}99^{10^{23}}=\exp(-1{,}005033585\times10^{21})\approx10^{-4{,}367\times10^{20}}

Exercícios relacionados