9-) Suponha que todas as moléculas de uma caixa estejam em
do volume deixando o
restante completamente vazio. Qual é a probabilidade de encontrar tal arranjo se houver 100 moléculas no recipiente? E se houver 10.000 moléculas? E se houver
?
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Queremos a probabilidade de que todas as moléculas fiquem dentro dos
do volume, deixando o restante vazio. - Informação numérica: tamanho da região vazia é
do volume total; portanto a fração do volume ocupada pelas moléculas é . - Pedidos: calcular essa probabilidade quando o número de moléculas é
, depois quando é e quando é . - Pressuposição implícita (necessária para resolver): cada molécula tem posição aleatória independente e uniforme no volume; assim a probabilidade de uma molécula cair fora do
vazio é e eventos para moléculas diferentes são independentes.
Passo 2
Modelo probabilístico e fórmula geral (explicação didática):
- Se cada molécula, independentemente, tem probabilidade
de estar na parte cheia (os do volume), então a probabilidade de duas moléculas estarem ambas na parte cheia é (multiplica-se porque são eventos independentes). - Generalizando: para
moléculas independentes a probabilidade de todas estarem na parte cheia é
- Substituindo
obtemos a fórmula que usaremos:
(Comentário amigável: multiplicar probabilidades independentes é a regra básica — pensa em repetir o mesmo evento
vezes e querer que dê certo em todas as tentativas.)
Passo 3
Como calcular numericamente
de forma prática (aula rápida de aproximação):
- É conveniente usar logaritmo natural para manipular potências muito grandes:
- Para
pequeno, . Aqui , então
- Calculando os primeiros termos:
. Assim usaremos
(Essa aproximação é suficiente e normalmente aceitável em prova.)
Passo 4
Cálculo para
(passo a passo):
- Usamos
. - Multiplicando:
. - Portanto
- Interpretação: cerca de
. Ou seja, com moléculas não é raro que todas fiquem fora daquele — as flutuações podem deixar um pequeno canto vazio.
Passo 5
Cálculo para
(passo a passo):
-
. - Multiplicando:
. - Então
- Para avaliar numericamente:
e , logo
- Interpretação: probabilidade essencialmente zero para fins práticos — do ponto de vista experimental, nunca se espera ver esse arranjo com
moléculas.
Passo 6
Cálculo para
(passo a passo e interpretação):
-
. - Multiplicando:
. - Assim
- Para dar uma ideia em potências de dez, usamos
. Então
- Portanto
um número com um expoente negativo do tamanho ~
— absolutamente desprezível, ou seja, praticamente zero.
Passo 7
Interpretação física e motivação (encorajamento):
- Resumo intuitivo: a fórmula é simples
. Para poucos átomos (ex.: ) a probabilidade ainda é razoável ( ). Para já é astronomicamente pequena ( ). Para é tão pequena que é, para todos os efeitos práticos, zero. - Moral: eventos de grande raridade em nível microscópico (deixar exatamente
completamente vazio quando há Avogadro de partículas) praticamente não ocorrem — é por isso que a termodinâmica macroscópica é tão estável. - Força aí — deu pra ver como aplicar independência e logaritmos para avaliar probabilidades enormes/pequenas!