Suponha que três variáveis aleatórias X_{1}, X_{2} e X_{3} tenham uma distribuição conjunta contínua com densidade dada por f_{X_{1}, X_{2}, X_{3}}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=8 x_{1} x_{2} x_{3} \boldsymbol{I}_{A}\left(x_{1}, x_{2} x_{3}\right) com A= \{(0,1) \times(0,1) \times(0,1)\}. Suponha também que Y_{1}=X_{1}, Y_{2}=X_{1} X_{2}, Y_{3}=X_{1} X_{2} X_{3}. Encontre a densidade de \boldsymbol{Y}=(Y 1, Y 2, Y 3).
13. Sejam X e Y variáveis aleatórias iid U(0,1). Sejam Z=X+Y e W=X-Y. Encontre a densidade conjunta de Z e W e as marginais de Z e de W.
Passo 1
Enunciados e dados importantes (vou listar separadinhos para não confundir).
Problema A (primeiro exercício):
As variáveis X_{1},X_{2},X_{3} têm densidade conjunta
Pedido: encontrar a densidade conjunta de \boldsymbol{Y}=(Y_{1},Y_{2},Y_{3}).
Problema B (segundo exercício, numerado 13 no enunciado):
X e Y são iid \mathrm{Uniform}(0,1). Definimos
Z=X+Y,\qquad W=X-Y.
Pedido: encontrar a densidade conjunta de (Z,W) e as densidades marginais de Z e de W.
Passo 2
Escolha do método (o que vamos usar e por quê).
Para ambos os problemas temos uma transformação de variáveis contínuas e queremos a densidade da nova variável. O método padrão é a transformação por mudança de variável usando a inversa da transformação e o determinante jacobiano. Vou aplicar esse método: achar a inversa (expressar x em função de y ou z,w), calcular o jacobiano \left|\det\!\left(\frac{\partial(x)}{\partial(y)}\right)\right|, e obter
Problema B — densidade marginal de W\): \(f_{W}(w)\).
- Para \(w\) fixo com \(|w|<1\), \(z\) varia entre \(|w|\) e \(2-|w|\). Logo
\[f_{W}(w)=\int_{z=|w|}^{2-|w|} \frac{1}{2}\,dz = \frac{1}{2}\big(2-2|w|\big)=1-|w|.