6-) Suponha que você tenha um mol de água a
sob pressão atmosférica. Determine o que acontece com a energia livre de Gibbs se você aumentar a temperatura para 30C. Para compensar essa mudança, você pode aumentar a pressão sobre a água. Quanta pressão seria necessária? (dados:
, volume de um mol de água
)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas, e dá alguns dados. Vou listar com clareza:
- O que se tem: um mol de água à temperatura inicial
sob pressão atmosférica. - O que se faz: aumenta-se a temperatura até
(ou seja, ). - Dados numéricos fornecidos:
-
(interpreto isto como a entropia molar aproximada da água líquida à temperatura dada; o enunciado deu esse valor). - volume molar da água
por mol.
-
- Perguntas:
- O que acontece com a energia livre de Gibbs quando a temperatura aumenta de
para mantendo a pressão atmosférica? - Que aumento de pressão seria necessário para compensar essa mudança (isto é, para manter
)?
- O que acontece com a energia livre de Gibbs quando a temperatura aumenta de
Passo 2
Qual é a relação que liga variações de
,
e
? A identidade termodinâmica relevante é a diferencial de Gibbs para uma substância pura (com número de mols fixo):
Explicando cada símbolo de forma simples:
-
é a energia livre de Gibbs (energia disponível para trabalho a e fixos). -
é o volume molar (volume por mol, já que temos 1 mol). -
é a pressão. -
é a entropia molar. -
é a temperatura absoluta (em kelvin).
Esta fórmula vem dee das relações termodinâmicas básicas; não precisamos do derivar inteiro para a prova, só lembrar que variações pequenas obedecem a essa igualdade.
Interpretação prática:
- Se
for mantida constante, e então . - Se quisermos compensar uma variação de temperatura por alteração de pressão, usamos a forma completa
e igualamos a zero para encontrar o que zera .
Observação sobre aproximações: para pequenos
e
podemos aproximar
, assumindo
e
aproximadamente constantes no intervalo considerado. Para um líquido (água) essa é uma aproximação bem razoável porque
e
variam pouco com
e
pequenos.
Passo 3
Calcular a variação de Gibbs quando aumentamos a temperatura de
para
a pressão constante (pression atmosférica).
- Primeiro, transformar a variação de temperatura em kelvin: como uma diferença em Celsius é igual em kelvin, temos
. - Com pressão constante, uso
. - Substituindo os números que o enunciado deu:
.
Cálculo:
Interpretação física: a energia livre de Gibbs do mol de água diminui aproximadamente
ao subir a temperatura em
a pressão constante. Em palavras: aquecer o líquido reduz
porque a contribuição
domina.
Passo 4
Agora: quanto de pressão seria necessário para compensar essa mudança (ou seja, encontrar
tal que
)?
- Uso a forma linear aproximada:
Quero
, então:
- Converter o volume dado para unidades SI:
por mol. - Substituir números:
-
-
Cálculo passo a passo:
-
Lembrando que
, então:
Converter para atmosferas para termos uma noção mais intuitiva:
, então
Pressão absoluta necessária (começando de
) seria aproximadamente
, ou em pascals cerca de
.
Passo 5
Comentários finais e validade das aproximações:
- O resultado mostra que, embora apenas
pareça pequeno, a água líquida tem volume muito pequeno por mol, então para produzir um efeito oposto via é preciso uma pressão enorme. - Aproximações usadas:
- Assumi
e constantes no intervalo; isso é razoável para e para líquidos pouco compressíveis. - Não considerei efeitos não-lineares de compressibilidade ou variação de entropia com pressão (efeitos pequenos comparados com a magnitude calculada).
- Assumi
- Em linguagem amiga: aumentar a pressão para “anular” o efeito de esquentar a água em
exigiria uma pressão impraticavelmente grande (centenas de atmosferas). Então, na prática, aquecer é muito mais fácil do que “compensar” por pressão.