Suppose a spinless particle is bound to a fixed center by a potential
so asymmetrical that no energy level is degenerate. Using time-
reversal invariance prove
for any energy eigenstate. (This is known as quenching of orbital angular momentum.) If the wave function of such a nondegenerate eigenstate is expanded as
what kind of phase restrictions do we obtain on
?
reversal invariance prove
Passo 1
O que o problema pede e o que nos é dado.
- Pede-se provar que, para um único (spinless) partícula ligada a um centro fixo por um potencial tão assimétrico que nenhum nível de energia é degenerado, vale
em qualquer autostado de energia.
- Pede-se também, ao escrever o autostado como
determinar as restrições de fase que os coeficientes radiais
satisfazem.
Informações relevantes fornecidas / que usaremos:
- A partícula é spinless (sem spin).
- O Hamiltoniano é invariante por reversão temporal (time-reversal).
- Todos os níveis são não degenerados (cada autovalor de energia é não degenerado).
- Propriedade útil dos harmônicos esféricos:
Passo 2
Conceito de reversão temporal para partícula sem spin e ação sobre funções de onda.
- Para partícula sem spin, o operador de reversão temporal
age apenas por conjugação complexa no espaço de coordenadas (até uma fase global): sobre a função de onda no espaço de posições, escolhemos a representação em que
ou, escrevendo em notação de ket,
onde ``
’’ denota conjugação complexa dos componentes da função de onda. (Formalmente
é antiunitário, i.e. mistura conjugação complexa com uma transformação unitária; para spinless podemos tomar a parte unitária trivial.)
- Importante:
é antiunitário, o que implica que, para vetores ,
Passo 3
Como
transforma sob reversão temporal.
- O operador de momento
muda de sinal sob reversão temporal (porque envolve e derivada temporal-conjugada), portanto o momento linear é ímpar: . - O momento angular orbital é
. Como é par e é ímpar, é ímpar:
Passo 4
Usar não-degenerescência para afirmar que o autostado de energia é (até fase) próprio de
.
- Seja
um autostado de energia não degenerado com energia
. Como o Hamiltoniano comuta com (invariância temporal), também é um autostado de energia . - Pela hipótese de não-degenerescência,
só pode diferir de
por uma fase complexa. Assim existe um ângulo real
tal que
(Esta fase global
depende do autostado; pode ser eliminada mudando a fase do próprio
, mas por enquanto a mantemos.)
Passo 5
Transformação da esperança de
usando
e conclusão
.
- Começamos com a esperança de
:
- Aplicamos
por ambos os lados usando a identidade válida para operadores antiunitários (uma forma prática é usar a propriedade de e a relação de conjugação): uma forma direta é escrever
(A razão: a ação antiunitária troca ordem e faz conjugação complexa; esta relação é a que usamos rotineiramente para ver como expectativas mudam sob
.)
- Substituindo
e
obtemos
- Como
é Hermitiano, é um número real, logo igual ao seu conjugado. Denotando , a relação fica
o que implica
- Portanto, em qualquer autostado não degenerado de energia, a esperança do momento angular orbital se anula:
Passo 6
Agora tratamos a expansão em harmônicos esféricos e extraímos as restrições de fase sobre
.
- Escrevemos o autostado em coordenadas esféricas como
- Aplicando conjugação complexa (a ação de
para spinless), obtemos
- Usamos a propriedade dos harmônicos esféricos:
Assim
- Reindexando
na soma (para comparar coeficientes de ) dá
- Pelo Passo 4,
. Substituindo as expansões em ambos os lados e igualando coeficientes de obtemos, para todo ,
- Isolando
resulta
Esta é a restrição de fase geral que os coeficientes radiais devem satisfazer, envolvendo a fase global
que veio da ação de
sobre o autostado.
Passo 7
Forma mais simples escolhendo a fase global do autostado.
- A fase
vem apenas da escolha de fase do autostado . Podemos escolher a fase global de de modo que (isto é, transformar ). Fazendo essa escolha, a relação acima simplifica para
- Em particular, para
obtemos
isto é,
pode ser escolhido real. Mais geralmente, os coeficientes com índices
não são independentes: o conhecimento de
determina
pela relação acima.
Resposta
e, escolhendo a fase global de modo que
,
com
real.