Suppose a spinless particle is bound to a fixed center by a potential V(\mathbf{x}) so asymmetrical that no energy level is degenerate. Using time-
reversal invariance prove
\langle\mathbf{L}\rangle=0
for any energy eigenstate. (This is known as quenching of orbital angular momentum.) If the wave function of such a nondegenerate eigenstate is expanded as
\sum_{l} \sum_{m} F_{l m}(r) Y_{l}^{m}(\theta, \varphi),
what kind of phase restrictions do we obtain on F_{l m}(r) ?

Passo 1

O que o problema pede e o que nos é dado.
  • Pede-se provar que, para um único (spinless) partícula ligada a um centro fixo por um potencial tão assimétrico que nenhum nível de energia é degenerado, vale
\langle \mathbf{L}\rangle = 0
em qualquer autostado de energia.
  • Pede-se também, ao escrever o autostado como
\sum_{l}\sum_{m} F_{lm}(r)\,Y_l^m(\theta,\varphi),
determinar as restrições de fase que os coeficientes radiais F_{lm}(r) satisfazem.
Informações relevantes fornecidas / que usaremos:
  • A partícula é spinless (sem spin).
  • O Hamiltoniano é invariante por reversão temporal (time-reversal).
  • Todos os níveis são não degenerados (cada autovalor de energia é não degenerado).
  • Propriedade útil dos harmônicos esféricos:
Y_l^{m}(\theta,\varphi)^* = (-1)^m\,Y_l^{-m}(\theta,\varphi).

Passo 2

Conceito de reversão temporal para partícula sem spin e ação sobre funções de onda.
  • Para partícula sem spin, o operador de reversão temporal \Theta age apenas por conjugação complexa no espaço de coordenadas (até uma fase global): sobre a função de onda no espaço de posições, escolhemos a representação em que
\Theta \psi(\mathbf r) = \psi(\mathbf r)^*,
ou, escrevendo em notação de ket,
\Theta\ket{\psi} = \ket{\psi^*},
onde `` ^*’’ denota conjugação complexa dos componentes da função de onda. (Formalmente \Theta é antiunitário, i.e. mistura conjugação complexa com uma transformação unitária; para spinless podemos tomar a parte unitária trivial.)
  • Importante: \Theta é antiunitário, o que implica que, para vetores \ket{u},\ket{v},
\langle \Theta u|\Theta v\rangle = \langle v|u\rangle.

Passo 3

Como \mathbf{L} transforma sob reversão temporal.
  • O operador de momento \mathbf p = -i\hbar\nabla muda de sinal sob reversão temporal (porque envolve i e derivada temporal-conjugada), portanto o momento linear é ímpar: \Theta \mathbf p\,\Theta^{-1} = -\mathbf p.
  • O momento angular orbital é \mathbf L = \mathbf r\times\mathbf p. Como \mathbf r é par e \mathbf p é ímpar, \mathbf L é ímpar:
\Theta\,\mathbf L\,\Theta^{-1} = -\mathbf L.

Passo 4

Usar não-degenerescência para afirmar que o autostado de energia é (até fase) próprio de \Theta.
  • Seja \ket{\psi} um autostado de energia não degenerado com energia E. Como o Hamiltoniano H comuta com \Theta (invariância temporal), \Theta\ket{\psi} também é um autostado de energia E.
  • Pela hipótese de não-degenerescência, \Theta\ket{\psi} só pode diferir de \ket{\psi} por uma fase complexa. Assim existe um ângulo real \alpha tal que
\Theta\ket{\psi} = e^{i\alpha}\ket{\psi}.
(Esta fase global \alpha depende do autostado; pode ser eliminada mudando a fase do próprio \ket{\psi}, mas por enquanto a mantemos.)

Passo 5

Transformação da esperança de \mathbf L usando \Theta e conclusão \langle\mathbf L\rangle=0.
  • Começamos com a esperança de \mathbf L:
\langle\mathbf L\rangle \equiv \langle\psi|\mathbf L|\psi\rangle.
  • Aplicamos \Theta por ambos os lados usando a identidade válida para operadores antiunitários (uma forma prática é usar a propriedade de \Theta e a relação de conjugação): uma forma direta é escrever
\langle\psi|\mathbf L|\psi\rangle = \langle \Theta\psi \,|\, \Theta\,\mathbf L\,\Theta^{-1} \,|\,\Theta\psi\rangle^*.
(A razão: a ação antiunitária troca ordem e faz conjugação complexa; esta relação é a que usamos rotineiramente para ver como expectativas mudam sob \Theta.)
  • Substituindo \Theta\ket{\psi}=e^{i\alpha}\ket{\psi} e \Theta \mathbf L\Theta^{-1}=-\mathbf L obtemos
\langle\psi|\mathbf L|\psi\rangle = \langle e^{i\alpha}\psi \,|\, -\mathbf L \,|\, e^{i\alpha}\psi\rangle^* = -\langle\psi|\mathbf L|\psi\rangle^*.
  • Como \mathbf L é Hermitiano, \langle\psi|\mathbf L|\psi\rangle é um número real, logo igual ao seu conjugado. Denotando v=\langle\psi|\mathbf L|\psi\rangle\in\mathbb R, a relação fica
v = -v,
o que implica
v=0.
  • Portanto, em qualquer autostado não degenerado de energia, a esperança do momento angular orbital se anula:
\langle\mathbf L\rangle = 0.

Passo 6

Agora tratamos a expansão em harmônicos esféricos e extraímos as restrições de fase sobre F_{lm}(r).
  • Escrevemos o autostado em coordenadas esféricas como
\psi(\mathbf r) = \sum_{l}\sum_{m} F_{lm}(r)\,Y_l^m(\theta,\varphi).
  • Aplicando conjugação complexa (a ação de \Theta para spinless), obtemos
\psi(\mathbf r)^* = \sum_{l}\sum_{m} F_{lm}(r)^*\,Y_l^m(\theta,\varphi)^*.
  • Usamos a propriedade dos harmônicos esféricos:
Y_l^{m}(\theta,\varphi)^* = (-1)^m\,Y_l^{-m}(\theta,\varphi).
Assim
\psi(\mathbf r)^* = \sum_{l}\sum_{m} F_{lm}(r)^*\,(-1)^m\,Y_l^{-m}(\theta,\varphi).
  • Reindexando m\to -m na soma (para comparar coeficientes de Y_l^{m}) dá
\psi(\mathbf r)^* = \sum_{l}\sum_{m} (-1)^m\,F_{l,-m}(r)^*\,Y_l^{m}(\theta,\varphi).
  • Pelo Passo 4, \psi(\mathbf r)^* = e^{i\alpha}\psi(\mathbf r). Substituindo as expansões em ambos os lados e igualando coeficientes de Y_l^{m} obtemos, para todo l,m,
(-1)^m\,F_{l,-m}(r)^* = e^{i\alpha}\,F_{lm}(r).
  • Isolando F_{l,-m}(r) resulta
F_{l,-m}(r) = e^{-i\alpha}\,(-1)^m\,F_{lm}(r)^*.
Esta é a restrição de fase geral que os coeficientes radiais devem satisfazer, envolvendo a fase global e^{-i\alpha} que veio da ação de \Theta sobre o autostado.

Passo 7

Forma mais simples escolhendo a fase global do autostado.
  • A fase \alpha vem apenas da escolha de fase do autostado \ket{\psi}. Podemos escolher a fase global de \ket{\psi} de modo que e^{i\alpha}=1 (isto é, transformar \ket{\psi}\mapsto e^{-i\alpha/2}\ket{\psi}). Fazendo essa escolha, a relação acima simplifica para
F_{l,-m}(r) = (-1)^m\,F_{lm}(r)^*.
  • Em particular, para m=0 obtemos
F_{l0}(r)=F_{l0}(r)^*,
isto é, F_{l0}(r) pode ser escolhido real. Mais geralmente, os coeficientes com índices \pm m não são independentes: o conhecimento de F_{lm}(r) determina F_{l,-m}(r) pela relação acima.

Resposta

\langle\mathbf{L}\rangle=0
F_{l,-m}(r)=e^{-i\alpha}\,(-1)^m\,F_{lm}(r)^*,
e, escolhendo a fase global de modo que e^{i\alpha}=1,
F_{l,-m}(r)=(-1)^m\,F_{lm}(r)^*,
com F_{l0}(r) real.

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