Um tanque de armazenamento de biodiesel com
de área transversal contém um volume de 100 m 3 de produto. Sabendo que a vazão de saída é puramente gravitacional
responda com
:
a.
Qual o tempo necessário para esvaziar
do volume inicial.
b.
Qual a vazão de saída após 24 h
c.
Mostre graficamente o comportamento da altura em 24 h .
a.
b.
c.
Passo 1
O enunciado pede três coisas e nos dá os seguintes dados:
- Área transversal do tanque:
. - Volume inicial de biodiesel:
. - A vazão de saída é puramente gravitacional e proporcional à altura:
. - Constante dada:
. - Perguntas:
a. Qual o tempo necessário para esvaziardo volume inicial?
b. Qual a vazão de saída apóshoras?
c. Mostrar graficamente o comportamento da altura emhoras.
Passo 2
Primeiro calculamos a altura inicial do líquido no tanque. A relação entre volume e altura, para seção transversal constante, é
Portanto a altura inicial é
Explicando bem:
tem unidade
,
tem unidade
, logo
fica em metros.
Passo 3
Montamos a equação dinâmica (conservação de massa/volume). A taxa de variação do volume dentro do tanque é a vazão de saída negativa:
Como
, derivando:
Pelo modelo dado
. Substituindo:
Definições e unidades:
em metros,
em segundos (já que
está em
),
em
,
tem unidade
(correto para vazão).
Passo 4
Resolvemos a equação diferencial ordinária de primeira ordem:
Isto é um decaimento exponencial. Separe variáveis e integre:
Aplicando condição inicial
obtemos
. Assim
Substituímos os valores numéricos:
. Logo
Também é útil o tempo característico (constante de tempo)
que indica que em um tempo da ordem de
a altura já decai significativamente (para cerca de
do inicial).
Passo 5
(a) Tempo para esvaziar
do volume inicial.
Querer esvaziar
do volume significa
. Como
, isso equivale a
. Usando a solução:
Tomando logaritmo:
Calculando numericamente:
Convertendo para minutos e horas:
Interpretação: em cerca de
minutos o tanque perde metade do volume — a razão é que o modelo
e a grande
tornam a descarga rápida.
Passo 6
(b) Vazão de saída após
horas.
A vazão é
. Substituindo números:
Para
, o expoente é
Assim
O número
é extremamente pequeno; usando notação científica:
então
Isto é, na prática a vazão é zero depois de 24 horas: o tanque foi praticamente esvaziado nos primeiros minutos. Em unidades mais familiares isso é desprezível (por exemplo, em
seria multiplicado por
, ainda da ordem de
).
Passo 7
(c) Comportamento gráfico da altura em
horas.
A curva a ser desenhada é a exponencial
Pontos-chave (para ajudar a desenhar o gráfico; apresento
em segundos e em parênteses em minutos/horas quando útil):
Como ver:
- A altura cai rapidamente nos primeiros minutos (daí o tempo de meia-vida de ~138 s).
- Depois de alguns minutos praticamente não resta altura; na escala de horas o valor é numericamente zero.
Para desenhar: eixo horizontal(em minutos ou horas), eixo vertical (em metros). A curva começa em e decai exponencialmente rumo a . Se quiser visualizar melhor os primeiros minutos use escala de tempo em segundos ou uma escala logarítmica no eixo , porque em escala linear o valor vira zero quase imediatamente.
Resposta
(a)
.
(b) (praticamente zero).
(c) (com
em s);
(praticamente zero).
(b)
(c)