Um tanque rígido contém 1 kg de dióxido de carbono puro a 600 K e 2000 kPa . O gás é resfriado até 300 K . Determine a transferência calor no processo, a variação de entropia, e se esse processo é possível pelas leis da termodinâmica considerando a temperatura de fronteira igual a 300 K . Dica: hipótese de gás ideal e calores específicos constante. V-W 6.78 mod. Para CO2 8^{\text {a }}.Ed. (10%)

Passo 1

O enunciado e os dados (tudo que foi dado):
  • Massa do gás: m=1\\ \text{kg}.
  • Gás: dióxido de carbono puro ( \mathrm{CO_2}).
  • Estado inicial: T_1=600\\ \text{K} e p_1=2000\\ \text{kPa}.
  • Estado final: T_2=300\\ \text{K}.
  • Tanque rígido: volume constante (processo a volume fixo).
  • Hipóteses (dadas no enunciado): gás ideal e calores específicos constantes.
  • Temperatura da fronteira (reservatório): T_0=300\\ \text{K}.
    O que o enunciado pede:
  1. Transferência de calor no processo (ou seja, Q trocado pelo sistema).
  2. Variação de entropia do sistema (ou seja, \Delta S_{\text{sistema}}).
  3. Verificar se o processo é possível pelas leis da termodinâmica considerando a fronteira a T_0=300\\ \text{K} (isto é, checar \Delta S_{\text{universo}} e comentar sobre reversibilidade).

Passo 2

Princípios e fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • Primeira lei para sistema fechado (variação de energia interna): \Delta U = Q - W.
    • \Delta U é a variação da energia interna do sistema (kJ).
    • Q é o calor recebido pelo sistema (kJ). Sinal positivo é calor entrando no sistema.
    • W é o trabalho realizado pelo sistema (kJ). Para tanque rígido, W=0 (nenhum trabalho de fronteira P\,\Delta V porque \Delta V=0).
    • Logo, para tanque rígido: Q=\Delta U.
  • Para gás ideal com calor específico constante, a variação de energia interna é \Delta U = m c_v (T_2-T_1),onde c_v é o calor específico a volume constante (unidade \text{kJ}\,\text{kg}^{-1}\,\text{K}^{-1}).
  • Variação de entropia para gás ideal com calores específicos constantes, em processo entre T_1 e T_2 e volume constante: \Delta s = c_v \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)para entropia específica (por unidade de massa). A variação total do sistema é \Delta S_{\text{sistema}} = m\,\Delta s = m\,c_v \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).
    • Aqui \Delta s tem unidade \text{kJ}\,\text{kg}^{-1}\text{K}^{-1} e \Delta S_{\text{sistema}} tem unidade \text{kJ}\,\text{K}^{-1}.
  • Para o reservatório a temperatura constante T_0, a variação de entropia do reservatório ao receber calor Q_{\text{res}} é \Delta S_{\text{res}} = \frac{Q_{\text{res}}}{T_0}.Como Q_{\text{res}} é o calor ganho pelo reservatório, e Q_{\text{res}}=-Q_{\text{sistema}} (conservação de energia do par sistema+reservatório).
  • Entropia do universo: \Delta S_{\text{universo}}=\Delta S_{\text{sistema}}+\Delta S_{\text{res}}.O processo é termodinamicamente possível se \Delta S_{\text{universo}}\ge 0. Se \Delta S_{\text{universo}}>0 o processo é irreversível; se \Delta S_{\text{universo}}=0 seria reversível.

Passo 3

Escolha dos valores de propriedades para \mathrm{CO_2} (justificando e mostrando consistência):
  • Para \mathrm{CO_2} usaremos calores específicos constantes típicos à ordem de grandeza apropriada: c_p = 0,844\\ \text{kJ}\,\text{kg}^{-1}\text{K}^{-1},\qquad c_v = 0,655\\ \text{kJ}\,\text{kg}^{-1}\text{K}^{-1}.Esses valores são compatíveis com a relação R = c_p-c_v e com a constante dos gases ideais específica de \mathrm{CO_2}: R = c_p-c_v = 0,844-0,655 = 0,189\\ \text{kJ}\,\text{kg}^{-1}\text{K}^{-1}.Conferindo com R_u=8,3145\\ \text{kJ}\,\text{kmol}^{-1}\text{K}^{-1} e massa molar M=44,01\\ \text{kg}\,\text{kmol}^{-1}, R=\frac{R_u}{M}=\frac{8,3145}{44,01}\approx 0,1889\\ \text{kJ}\,\text{kg}^{-1}\text{K}^{-1},que é consistente com 0,189\\ \text{kJ}\,\text{kg}^{-1}\text{K}^{-1}. Assim os valores escolhidos são adequados para o cálculo com calores específicos constantes.

Passo 4

Cálculo da transferência de calor Q usando a primeira lei no processo a volume constante:
  • Fórmula: \displaystyle Q=\Delta U = m c_v (T_2-T_1).
  • Substituindo valores (usar m=1\\ \text{kg}, c_v=0,655\\ \text{kJ}\,\text{kg}^{-1}\text{K}^{-1}, T_1=600\\ \text{K}, T_2=300\\ \text{K}): Q = 1\cdot 0,655 \cdot (300-600)\\ \text{kJ} = 0,655\cdot(-300)\\ \text{kJ}.
Q = -196,5\\ \text{kJ}.
  • Interpretação do sinal: Q<0 significa que o sistema perdeu calor (calor foi rejeitado para o meio/ reservatório). Em módulo, 196,5\\ \text{kJ} foi removido do gás.

Passo 5

Cálculo da variação de entropia do sistema \Delta S_{\text{sistema}}:
  • Fórmula para o sistema: \displaystyle \Delta S_{\text{sistema}} = m c_v \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).
  • Substituindo: \Delta S_{\text{sistema}} = 1\cdot 0,655\cdot \ln\!\left(\frac{300}{600}\right)\\ \text{kJ}\,\text{K}^{-1}.
\ln\!\left(\frac{300}{600}\right)=\ln(0,5)\approx -0,693147.
\Delta S_{\text{sistema}} = 0,655\cdot(-0,693147)\\ \text{kJ}\,\text{K}^{-1}\approx -0,4539\\ \text{kJ}\,\text{K}^{-1}.
  • Arredondando de forma razoável: \Delta S_{\text{sistema}}\approx -0,454\\ \text{kJ}\,\text{K}^{-1} (ou -453,9\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}).

Passo 6

Cálculo da variação de entropia do reservatório \Delta S_{\text{res}} e da entropia do universo:
  • O calor ganho pelo reservatório é Q_{\text{res}}=-Q_{\text{sistema}}=+196,5\\ \text{kJ}.
  • Como o reservatório tem temperatura constante T_0=300\\ \text{K}, \Delta S_{\text{res}} = \frac{Q_{\text{res}}}{T_0} = \frac{196,5}{300}\\ \text{kJ}\,\text{K}^{-1} = 0,655\\ \text{kJ}\,\text{K}^{-1}.
  • Entropia do universo: \Delta S_{\text{universo}} = \Delta S_{\text{sistema}} + \Delta S_{\text{res}} = -0,4539 + 0,655\\ \text{kJ}\,\text{K}^{-1}.
\Delta S_{\text{universo}} \approx 0,2011\\ \text{kJ}\,\text{K}^{-1}.
Arredondando: \Delta S_{\text{universo}}\approx 0,201\\ \text{kJ}\,\text{K}^{-1} (ou 201,1\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}).

Passo 7

Interpretação termodinâmica e conclusão sobre possibilidade e reversibilidade:
  • A segunda lei exige \Delta S_{\text{universo}}\ge 0 para processos possíveis. Aqui \Delta S_{\text{universo}}\approx 0,201\\ \text{kJ}\,\text{K}^{-1}>0.
  • Portanto o processo é termodinamicamente possível (não viola a segunda lei).
  • Como \Delta S_{\text{universo}}>0, o processo é irreversível. (Isto é esperado: o sistema foi resfriado de 600\\ \text{K} diretamente por um reservatório a 300\\ \text{K}; existe uma diferença finita de temperatura durante a transferência de calor, gerando produção de entropia.)
  • Observação prática: se o processo fosse realizado reversivelmente entre estados com um reservatório cuja temperatura do gás fosse reduzida infinitesimalmente até 300\\ \text{K}, a produção de entropia poderia ser zero; mas com um único reservatório a 300\\ \text{K} e o gás inicialmente a 600\\ \text{K} o processo real gera entropia positiva.

Resposta

Q = -196,5\\ \text{kJ}
\Delta S_{\text{sistema}} = -0,4539\\ \text{kJ}\,\text{K}^{-1}\\ (\approx -453,9\\ \text{J}\,\text{K}^{-1})
Processo possível? Sim. \Delta S_{\text{universo}}\approx 0,2011\\ \text{kJ}\,\text{K}^{-1}>0 → processo irreversível.

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