A taxa de imunizaçao de uma vacina é
e um grupo de 10 pessoas foi vacinado. Admitindo independência entre os resultados das pessoas vacinadas. Qual a probabilidade de 8 estarem imunizadas?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta uma coisa clara.
- Grupo de
pessoas vacinadas. - A taxa (probabilidade) de imunização por pessoa é
. Peguei esse valor do enunciado. - Admitiu-se independência entre os resultados das pessoas vacinadas.
- Pergunta: qual a probabilidade de exatamente
pessoas estarem imunizadas?
Passo 2
Como modelar isso? Vou explicar devagar e com jeitinho.
Cada pessoa vacinada tem só dois resultados possíveis: “imunizada” (sucesso) ou “não imunizada” (falha). Quando temos várias tentativas independentes, todas com a mesma probabilidade de sucesso, isso é um experimento de Bernoulli repetido
vezes. O número total de sucessos nessa repetição segue a distribuição binomial.
Definições que vou usar:
- Seja
o número total de ensaios (aqui ). - Seja
a probabilidade de sucesso em cada ensaio (aqui , que é ). - Seja
a variável aleatória que conta quantas pessoas estão imunizadas (número de sucessos). - Queremos
, a probabilidade de exatamente sucessos.
Passo 3
Fórmula da distribuição binomial (explicando cada termo):
- Aqui
é o número de maneiras diferentes de escolher quais pessoas entre são as imunizadas (combinações). -
é a probabilidade de que essas específicas sejam todas sucessos. -
é a probabilidade de que as restantes sejam falhas.
A independência garante que podemos multiplicar as probabilidades assim.
Passo 4
Aplicando os valores do enunciado para
,
,
:
Passo 5
Calcular o coeficiente combinatório
.
Definição de fatorial: para inteiro
,
. E
.
Agora simplificar:
Portanto
.
Passo 6
Calcular as potências de
e
passo a passo (sem usar calculadora, mostrando o raciocínio):
-
. -
. -
. -
.
Passo 7
Agora multiplico tudo:
Primeiro calcule
.
Agora multiplico pelo combinatório
:
-
. -
.
Somando:
.
Arredondando de forma prática para a prova,
(ou cerca de
).
Passo 8
Interpretação final curta e encorajamento: isso significa que, se vacinarmos grupos de 10 pessoas repetidamente com eficácia individual de
, em torno de
dos grupos teremos exatamente 8 pessoas imunizadas. Tá indo bem — esse tipo de conta aparece muito em prova e é só aplicar a fórmula binomial com calma como fizemos.