(2,0) A taxa de imunizaçao de uma vacina é 90 \% e um grupo de 10 pessoas foi vacinado. Admitindo independência entre os resultados das pessoas vacinadas. Qual a probabilidade de 8 estarem imunizadas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta uma coisa clara.
  • Grupo de 10 pessoas vacinadas.
  • A taxa (probabilidade) de imunização por pessoa é 90\%. Peguei esse valor do enunciado.
  • Admitiu-se independência entre os resultados das pessoas vacinadas.
  • Pergunta: qual a probabilidade de exatamente 8 pessoas estarem imunizadas?

Passo 2

Como modelar isso? Vou explicar devagar e com jeitinho.
Cada pessoa vacinada tem só dois resultados possíveis: “imunizada” (sucesso) ou “não imunizada” (falha). Quando temos várias tentativas independentes, todas com a mesma probabilidade de sucesso, isso é um experimento de Bernoulli repetido n vezes. O número total de sucessos nessa repetição segue a distribuição binomial.
Definições que vou usar:
  • Seja n o número total de ensaios (aqui n=10).
  • Seja p a probabilidade de sucesso em cada ensaio (aqui p=0,9, que é 90\%).
  • Seja X a variável aleatória que conta quantas pessoas estão imunizadas (número de sucessos).
  • Queremos P(X=8), a probabilidade de exatamente 8 sucessos.

Passo 3

Fórmula da distribuição binomial (explicando cada termo):
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{n-k}.
  • Aqui \binom{n}{k} é o número de maneiras diferentes de escolher quais k pessoas entre n são as imunizadas (combinações).
  • p^{k} é a probabilidade de que essas k específicas sejam todas sucessos.
  • (1-p)^{n-k} é a probabilidade de que as restantes n-k sejam falhas.
    A independência garante que podemos multiplicar as probabilidades assim.

Passo 4

Aplicando os valores do enunciado para n=10, k=8, p=0,9:
P(X=8)=\binom{10}{8}\,(0,9)^{8}\,(0,1)^{2}.

Passo 5

Calcular o coeficiente combinatório \binom{10}{8}.
Definição de fatorial: para inteiro m\ge1, m! = m\cdot(m-1)\cdots1. E 0!=1.
\binom{10}{8}=\frac{10!}{8!\,2!}.
Agora simplificar:
\frac{10!}{8!\,2!}=\frac{10\cdot9\cdot8!}{8!\cdot2}=\frac{10\cdot9}{2}=5\cdot9=45.
Portanto \binom{10}{8}=45.

Passo 6

Calcular as potências de 0,9 e 0,1 passo a passo (sem usar calculadora, mostrando o raciocínio):
  • (0,9)^2 = 0,9 \times 0,9 = 0,81.
  • (0,9)^4 = (0,9)^2 \times (0,9)^2 = 0,81 \times 0,81 = 0,6561.
  • (0,9)^8 = (0,9)^4 \times (0,9)^4 = 0,6561 \times 0,6561 = 0,43046721.
  • (0,1)^2 = 0,01.

Passo 7

Agora multiplico tudo:
Primeiro calcule (0,9)^8(0,1)^2 = 0,43046721 \times 0,01 = 0,0043046721.
Agora multiplico pelo combinatório 45:
45\times 0,0043046721 = (40+5)\times 0,0043046721.
  • 40\times 0,0043046721 = 0,172186884.
  • 5\times 0,0043046721 = 0,0215233605.
Somando: 0,172186884 + 0,0215233605 = 0,1937102445.
Arredondando de forma prática para a prova, P(X=8)\approx 0,19371 (ou cerca de 19,37\%).

Passo 8

Interpretação final curta e encorajamento: isso significa que, se vacinarmos grupos de 10 pessoas repetidamente com eficácia individual de 90\%, em torno de 19\% dos grupos teremos exatamente 8 pessoas imunizadas. Tá indo bem — esse tipo de conta aparece muito em prova e é só aplicar a fórmula binomial com calma como fizemos.

Resposta

\,P(X=8)=\binom{10}{8}(0,9)^{8}(0,1)^{2}\approx 0,1937102445\approx 0,19371

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