A tensão elétrica de uma pilha foi medida repetidamente utilizando um voltímetro. As leituras obtidas (em volts) estão listadas a seguir:
1,47-1,43-1,40-1,44-1,44-1,48-1,42-1,45-1,46-1,43
Com base nesses dados, determine:
a) O valor médio das indicações (MI);
b) O erro aleatório associado a cada indicação;
c) O desvio padrão experimental;
d) A incerteza tipo A.
Além disso, a mesma pilha foi medida por um voltímetro de referência, de boa qualidade metrológica. O valor obtido foi: 1,4977 \pm 0,0005 \mathrm{~V}
e) Utilizando esse resultado como referência, determine a tendência (Td) do voltímetro utilizado inicialmente.
Passo 1
O enunciado dá as leituras (em volts) obtidas com um voltímetro:
As perguntas são:
a) Determinar o valor médio das indicações (MI).
b) Determinar o erro aleatório associado a cada indicação (isto é, o desvio de cada leitura em relação à média).
c) Determinar o desvio padrão experimental (amostral).
d) Determinar a incerteza tipo A (incerteza padrão do valor médio).
e) Usando como referência o valor 1{,}4977\pm0{,}0005\\ \mathrm{V}, determinar a tendência (Td) do voltímetro inicial.
Passo 2
Cálculo do valor médio das indicações (MI).
Fórmula do valor médio (média simples) para n medidas x_i:
\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde \overline{x} é a média e n é o número de leituras. Aqui n=10. Somando as leituras (peguei os dados do enunciado):
Esses e_i são os erros aleatórios (com sinal) associados a cada indicação; se quiser o erro em módulo, basta tomar |e_i|.
Passo 4
Cálculo do desvio padrão experimental (amostral).
Explicação: o desvio padrão amostral mede a dispersão das leituras em torno da média. A fórmula (amostral, com correção de Bessel) é
onde s é o desvio padrão experimental e n-1 corrige o viés ao estimar a variância populacional a partir de uma amostra. Já temos os desvios e_i; agora elevamos ao quadrado e somamos.
Valores dos quadrados (usei os e_i do passo anterior):
Interpretação: em média as leituras individuais se dispersam cerca de 0{,}024\\ \mathrm{V} em torno da média.
Passo 5
Cálculo da incerteza tipo A (incerteza padrão do valor médio).
Explicação: quando temos n leituras independentes, a incerteza tipo A do valor médio é a incerteza padrão da média, dada por
u_A=\frac{s}{\sqrt{n}},
onde s é o desvio padrão amostral (do passo anterior) e n o número de medidas. Substituindo s\approx0{,}02394\\ \mathrm{V} e n=10:
Interpretação amigável: isso significa que o valor médio 1{,}442\\ \mathrm{V} tem uma incerteza estatística (tipo A) de cerca de 7{,}6\\ \mathrm{mV}.
Passo 6
Determinação da tendência (Td) usando o voltímetro de referência.
Definição: a tendência (erro sistemático) do voltímetro teste é a diferença entre o valor médio medido por ele e o valor de referência:
\mathrm{Td}=\overline{x}-x_{\text{ref}}.
O valor de referência fornecido é x_{\text{ref}}=1{,}4977\\ \mathrm{V} (incerteza do padrão 0{,}0005\\ \mathrm{V}, informação útil mas não exigida para cálculo bruto da Td). Substituindo \overline{x}=1{,}442\\ \mathrm{V}:
Interpretação: a tendência é negativa, isto é, o voltímetro inicial indica, em média, cerca de 55{,}7\\ \mathrm{mV} a menos que o valor de referência — ele subestima a tensão.
(se for relevante avaliar significância, a incerteza combinada da diferença seria aproximadamente \sqrt{u_A^2+u_{\text{ref}}^2}\approx\sqrt{(0{,}00757)^2+(0{,}0005)^2}\approx0{,}00759\\ \mathrm{V}, então a tendência de -0{,}0557\\ \mathrm{V} é claramente maior que a incerteza combinada.)
Resposta
a) \overline{x}=1{,}442\\ \mathrm{V}
b) Erros aleatórios e_i=x_i-\overline{x}: 0{,}028,\;-0{,}012,\;-0{,}042,\;-0{,}002,\;-0{,}002,\;0{,}038,\;-0{,}022,\;0{,}008,\;0{,}018,\;-0{,}012 (em volts)
c) s\approx0{,}02394\\ \mathrm{V} (desvio padrão experimental)
d) u_A=\dfrac{s}{\sqrt{n}}\approx0{,}00757\\ \mathrm{V} (incerteza tipo A)
e) \mathrm{Td}=\overline{x}-1{,}4977=-0{,}0557\\ \mathrm{V} (o voltímetro subestima a tensão em cerca de 55{,}7\\ \mathrm{mV}).