A tensão elétrica de uma pilha foi medida repetidamente utilizando um voltímetro. As leituras obtidas (em volts) estão listadas a seguir:
1,47-1,43-1,40-1,44-1,44-1,48-1,42-1,45-1,46-1,43
Com base nesses dados, determine:
a) O valor médio das indicações (MI);
b) O erro aleatório associado a cada indicação;
c) O desvio padrão experimental;
d) A incerteza tipo A.
Além disso, a mesma pilha foi medida por um voltímetro de referência, de boa qualidade metrológica. O valor obtido foi:
1,4977 \pm 0,0005 \mathrm{~V}
e) Utilizando esse resultado como referência, determine a tendência (Td) do voltímetro utilizado inicialmente.

Passo 1

O enunciado dá as leituras (em volts) obtidas com um voltímetro:
1{,}47,\;1{,}43,\;1{,}40,\;1{,}44,\;1{,}44,\;1{,}48,\;1{,}42,\;1{,}45,\;1{,}46,\;1{,}43.
As perguntas são:
a) Determinar o valor médio das indicações (MI).
b) Determinar o erro aleatório associado a cada indicação (isto é, o desvio de cada leitura em relação à média).
c) Determinar o desvio padrão experimental (amostral).
d) Determinar a incerteza tipo A (incerteza padrão do valor médio).
e) Usando como referência o valor 1{,}4977\pm0{,}0005\\ \mathrm{V}, determinar a tendência (Td) do voltímetro inicial.

Passo 2

Cálculo do valor médio das indicações (MI).
Fórmula do valor médio (média simples) para n medidas x_i:
\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde \overline{x} é a média e n é o número de leituras. Aqui n=10. Somando as leituras (peguei os dados do enunciado):
\sum_{i=1}^{10} x_i = 1{,}47+1{,}43+1{,}40+1{,}44+1{,}44+1{,}48+1{,}42+1{,}45+1{,}46+1{,}43 = 14{,}42.
Portanto
\overline{x}=\frac{14{,}42}{10}=1{,}442\\ \mathrm{V}.

Passo 3

Erro aleatório associado a cada indicação (desvios individuais).
Definição: o erro aleatório (desvio) de cada leitura x_i é
e_i = x_i - \overline{x}.
Calculo linha a linha (usei \overline{x}=1{,}442\\ \mathrm{V} obtida no passo anterior):
\begin{aligned} e_1&=1{,}47-1{,}442=0{,}028\\ \mathrm{V},\\\ e_2&=1{,}43-1{,}442=-0{,}012\\ \mathrm{V},\\\ e_3&=1{,}40-1{,}442=-0{,}042\\ \mathrm{V},\\\ e_4&=1{,}44-1{,}442=-0{,}002\\ \mathrm{V},\\\ e_5&=1{,}44-1{,}442=-0{,}002\\ \mathrm{V},\\\ e_6&=1{,}48-1{,}442=0{,}038\\ \mathrm{V},\\\ e_7&=1{,}42-1{,}442=-0{,}022\\ \mathrm{V},\\\ e_8&=1{,}45-1{,}442=0{,}008\\ \mathrm{V},\\\ e_9&=1{,}46-1{,}442=0{,}018\\ \mathrm{V},\\\ e_{10}&=1{,}43-1{,}442=-0{,}012\\ \mathrm{V}. \end{aligned}
Esses e_i são os erros aleatórios (com sinal) associados a cada indicação; se quiser o erro em módulo, basta tomar |e_i|.

Passo 4

Cálculo do desvio padrão experimental (amostral).
Explicação: o desvio padrão amostral mede a dispersão das leituras em torno da média. A fórmula (amostral, com correção de Bessel) é
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2},
onde s é o desvio padrão experimental e n-1 corrige o viés ao estimar a variância populacional a partir de uma amostra. Já temos os desvios e_i; agora elevamos ao quadrado e somamos.
Valores dos quadrados (usei os e_i do passo anterior):
\begin{aligned} e_1^2&=(0{,}028)^2=0{,}000784,\\\ e_2^2&=( -0{,}012)^2=0{,}000144,\\\ e_3^2&=( -0{,}042)^2=0{,}001764,\\\ e_4^2&=( -0{,}002)^2=0{,}000004,\\\ e_5^2&=0{,}000004,\\\ e_6^2&=(0{,}038)^2=0{,}001444,\\\ e_7^2&=( -0{,}022)^2=0{,}000484,\\\ e_8^2&=(0{,}008)^2=0{,}000064,\\\ e_9^2&=(0{,}018)^2=0{,}000324,\\\ e_{10}^2&=( -0{,}012)^2=0{,}000144. \end{aligned}
Somando:
\sum_{i=1}^{10} (x_i-\overline{x})^2 = 0{,}005160\\ \mathrm{V}^2.
Agora a variância amostral:
s^2=\frac{0{,}005160}{10-1}=\frac{0{,}005160}{9}=0{,}000573333\\ \mathrm{V}^2.
Portanto o desvio padrão experimental é
s=\sqrt{0{,}000573333}\approx 0{,}02394\\ \mathrm{V}\approx 0{,}024\\ \mathrm{V}.
Interpretação: em média as leituras individuais se dispersam cerca de 0{,}024\\ \mathrm{V} em torno da média.

Passo 5

Cálculo da incerteza tipo A (incerteza padrão do valor médio).
Explicação: quando temos n leituras independentes, a incerteza tipo A do valor médio é a incerteza padrão da média, dada por
u_A=\frac{s}{\sqrt{n}},
onde s é o desvio padrão amostral (do passo anterior) e n o número de medidas. Substituindo s\approx0{,}02394\\ \mathrm{V} e n=10:
u_A=\frac{0{,}02394}{\sqrt{10}}=\frac{0{,}02394}{3{,}1623}\approx 0{,}00757\\ \mathrm{V}\approx 0{,}0076\\ \mathrm{V}.
Interpretação amigável: isso significa que o valor médio 1{,}442\\ \mathrm{V} tem uma incerteza estatística (tipo A) de cerca de 7{,}6\\ \mathrm{mV}.

Passo 6

Determinação da tendência (Td) usando o voltímetro de referência.
Definição: a tendência (erro sistemático) do voltímetro teste é a diferença entre o valor médio medido por ele e o valor de referência:
\mathrm{Td}=\overline{x}-x_{\text{ref}}.
O valor de referência fornecido é x_{\text{ref}}=1{,}4977\\ \mathrm{V} (incerteza do padrão 0{,}0005\\ \mathrm{V}, informação útil mas não exigida para cálculo bruto da Td). Substituindo \overline{x}=1{,}442\\ \mathrm{V}:
\mathrm{Td}=1{,}442-1{,}4977=-0{,}0557\\ \mathrm{V}.
Interpretação: a tendência é negativa, isto é, o voltímetro inicial indica, em média, cerca de 55{,}7\\ \mathrm{mV} a menos que o valor de referência — ele subestima a tensão.
(se for relevante avaliar significância, a incerteza combinada da diferença seria aproximadamente \sqrt{u_A^2+u_{\text{ref}}^2}\approx\sqrt{(0{,}00757)^2+(0{,}0005)^2}\approx0{,}00759\\ \mathrm{V}, então a tendência de -0{,}0557\\ \mathrm{V} é claramente maior que a incerteza combinada.)

Resposta

a) \overline{x}=1{,}442\\ \mathrm{V}
b) Erros aleatórios e_i=x_i-\overline{x}: 0{,}028,\;-0{,}012,\;-0{,}042,\;-0{,}002,\;-0{,}002,\;0{,}038,\;-0{,}022,\;0{,}008,\;0{,}018,\;-0{,}012 (em volts)
c) s\approx0{,}02394\\ \mathrm{V} (desvio padrão experimental)
d) u_A=\dfrac{s}{\sqrt{n}}\approx0{,}00757\\ \mathrm{V} (incerteza tipo A)
e) \mathrm{Td}=\overline{x}-1{,}4977=-0{,}0557\\ \mathrm{V} (o voltímetro subestima a tensão em cerca de 55{,}7\\ \mathrm{mV}).

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