3- Um tensor \mathbf{T} de segunda ordem pode ser pensado como uma aplicação linear do \mathbf{R}^{3} no \mathbf{R}^{3}, ou seja, um tensor \mathbf{T} transforma um vetor \mathbf{u} do \mathbf{R}^{3} em um vetor \mathbf{v}, também, do \mathbf{R}^{3}.
Sendo: \mathbf{u}=\mathrm{u}_{1} \mathbf{i}+\mathrm{u}_{2} \mathbf{j}+\mathrm{u}_{3} \mathbf{k}
e \mathbf{v}=\mathbf{T} \mathbf{u}
onde: \mathbf{T u}=\left(2 \mathrm{u}_{1}+\mathrm{u}_{2}\right) \mathbf{i}+\left(\mathrm{u}_{3}+\mathrm{u}_{2}\right) \mathbf{j}+\left(2 \mathrm{u}_{1}-\mathrm{u}_{2}\right) \mathbf{k}
e \{\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\} é uma base ortonormal do \mathbf{R}^{3}.
Encontre os componentes do vetor \mathbf{v}, sabendo-se que \mathbf{u}=\mathbf{i}+2 \mathbf{j}+3 \mathbf{k}
Passo 1
O enunciado dá uma aplicação linear (tensor de segunda ordem) \mathbf{T} que transforma um vetor \mathbf{u}\in\mathbf{R}^3 em \mathbf{v}=\mathbf{T}\mathbf{u}. As informações fornecidas são:
O vetor geral \mathbf{u} tem componentes \mathrm{u}_{1},\mathrm{u}_{2},\mathrm{u}_{3} na base ortonormal \{\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}\}, isto é \mathbf{u}=\mathrm{u}_{1}\mathbf{i}+\mathrm{u}_{2}\mathbf{j}+\mathrm{u}_{3}\mathbf{k}.
O vetor específico a ser transformado é \mathbf{u}=\mathbf{i}+2\mathbf{j}+3\mathbf{k}.
O que o problema pede: encontrar os componentes do vetor \mathbf{v}=\mathbf{T}\mathbf{u} para o \mathbf{u} dado.
Passo 2
Entendendo o que significa “componentes do vetor \mathbf{v}”: se escrevemos \mathbf{v}=v_{1}\mathbf{i}+v_{2}\mathbf{j}+v_{3}\mathbf{k}, queremos calcular v_{1},v_{2},v_{3}.
A expressão dada para \mathbf{T}\mathbf{u} fornece diretamente cada uma dessas componentes em termos de \mathrm{u}_{1},\mathrm{u}_{2},\mathrm{u}_{3}. Extraindo das coordenadas temos:
Explicação curta (mini-aula): numa base ortonormal, escrever \mathbf{u}=\mathrm{u}_{1}\mathbf{i}+\mathrm{u}_{2}\mathbf{j}+\mathrm{u}_{3}\mathbf{k} significa que os números \mathrm{u}_{1},\mathrm{u}_{2},\mathrm{u}_{3} são exatamente as coordenadas de \mathbf{u}. A aplicação linear é dada componente a componente por fórmulas lineares — é isso que apareceu acima.
Passo 3
Identificar as componentes de \mathbf{u} a partir do vetor dado \mathbf{u}=\mathbf{i}+2\mathbf{j}+3\mathbf{k}. Portanto:
Comentário didático extra: outra forma de ver isso é escrever a matriz da transformação \mathbf{T} na base \{\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}\}. A partir das fórmulas, a matriz (com linhas correspondendo a v_1,v_2,v_3) é
e multiplicando \mathbf{T} pelo vetor coluna \mathbf{u}=(1,2,3)^{T} obtém-se o mesmo resultado (4,5,0)^{T}. Isso é útil na prova quando quiser operar com matrizes.]
Passo 5
Escrever o vetor resultante \mathbf{v} na forma vetorial na base \{\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}\}:
\mathbf{v}=4\mathbf{i}+5\mathbf{j}+0\mathbf{k}.
Também se pode apresentar como vetor coluna de coordenadas: